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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 35.1 - Ex. 3

Mostre que se ψ1 (x) e ψ2 (x) são soluções para a equação de Schrödinger independente do tempo (Equação 35-4), então ψ3 (x) = ψ1 (x) + ψ2 (x) também é uma solução. Esse resultado, conhecido como princípio de superposição, aplica-se às soluções de todas as equações lineares.

Passo 1

A equação de Schrödinger independente do tempo é:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E x ψ x

Se ψ 1 ( x ) é solução:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 x d x 2 + U x ψ 1 x = E x ψ 1 x

Se ψ 2 ( x ) é solução:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 x d x 2 + U x ψ 2 x = E x ψ 2 x

Somando as duas equações:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 x d x 2 + U x ψ 1 x - ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 x d x 2 + U x ψ 2 x = E x ψ 1 x + E x ψ 2 x

Vamos colocar os termos em comum em evidência:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 x d x 2 + d 2 ψ 2 x d x 2 + U x ψ 1 x + ψ 2 x = E x ψ 1 x + ψ 2 x

Ok?

Passo 2

Agora, vamos olhar com mais carinho para o ψ 3 x = ψ 2 x + ψ 1 ( x ) . A primeira derivada dele é:

d ψ 3 x d x = d ψ 1 x d x + d ψ 2 x d x

Derivando mais uma vez:

d 2 ψ 3 x d x 2 = d 2 ψ 1 x d x 2 + d 2 ψ 2 x d x 2

Hmmmm, acho que já vi isso antes....

Passo 3

... Vamos olhar para a soma das soluções do passo 1:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 x d x 2 + d 2 ψ 2 x d x 2 + U x ψ 1 x + ψ 2 x = E x ψ 1 x + ψ 2 x

Aaahh, foi aqui que vi as equações do passo 2!!

Comparando com o que achamos no passo 2, podemos fazer essa substituição:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 3 x d x 2 + U x ψ 3 x = E x ψ 3 x

E assim, provamos que ψ 3 ( x ) é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo.

Resposta

Provado no passo a passo.

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