124- O módulo da força gravitacional entre uma partícula de massa m 1 e uma partícula de massa m 2 é dado por

F x = G m 1 m 2 x 2

em que G é uma constante e x é a distância entre as partículas. (a) Qual é a função energia potencial U(x)? Suponha que U(x) → 0 quando x → ϕ e que x é positivo. (b) Qual é o trabalho necessário para aumentar a distância entre as partículas de x = x1 para x = x1 + d?

Passo 1

A equação de energia potencial com intervalo indo de x até é dada por:

U x = - ∫ x ∞ F ( x ) d x

Fazendo essa integral temos:

U x = - - G m 1 m 2 x - 1 x ∞

Aplicando o intervalo temos:

U x = G m 1 m 2 ∞ - G m 1 m 2 x = - G m 1 m 2 x

Passo 2

Da mesma forma que o trabalho W pode ser calculado por:

W ( x ) = ∫ F x d x

Podemos dizer que:

Δ U x = - W ( x )

- Δ U x = W ( x )

Logo o trabalho W será para essa variação de x :

W x = - G m 1 m 2 x 1 + d + G m 1 m 2 x 1 = - G m 1 m 2 x 1 + G m 1 m 2 x 1 + G m 1 m 2 d x 1 ( x 1 + d )

W x = G m 1 m 2 d x 1 ( x 1 + d )

Resposta

a )   U x = - G m 1 m 2 x

b )   W x = G m 1 m 2 d x 1 ( x 1 + d )

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