13. Em , um avião transportando um relógio atômico voou para frente e para trás durante horas, em baixa altitude com uma rapidez média de , em um experimento de dilatação temporal. O tempo do relógio foi comparado com o tempo de um relógio atômico mantido no solo. Qual foi a diferença de tempo entre o relógio atômico no avião e o relógio atômico no solo? Ignore os efeitos da aceleração do avião sobre o relógio atômico no avião. Suponha, também, o avião viajando com rapidez constante.

Primeiro, vamos usar a equação de dilatação do tempo para relacionar o tempo decorrido de acordo com o relógio no chão, para o tempo decorrido de acordo com relógio atômico aéreo. Usemos a fórmula abaixo:

Como a velocidade do avião é menor, mas muito menor do que a velocidade da luz , podemos usar expansão binomial na expressão que envolve a raiz da nossa fórmula acima, de modo que possamos simplificá-la como uma soma de binômios:

Através da expansão binomial, sabemos que dois números e , tais que a soma deles está elevado a outro número , pode ser escrito como:

No nosso exercício, temos então uma forma de aproximar a expressão da raiz como:

Agora substituímos a relação aproximada que encontramos, na fórmula lá do .

Mas que beleza! Obtemos uma expressão, em função do tempo adicional considerado adequado pelo relógio do avião, que sabemos ser igual a . Mas precisamos dele em segundos:

Voltemos a expressão lá do , porque tá faltando uma coisinha:

Bom, o é a soma do tempo medido pelo relógio no avião mais “alguma coisa”. Como sabemos que o mede o tempo do relógio de chão esse “alguma coisa” de que estamos falando só pode ser o tempo adicional que estamos procurando. E é mesmo! Vamos, então, substituir os valores numéricos adequados e encontrá-lo :

Encontramos que o tempo adicional é igual a aproximadamente .