14.7E A) Mostre que a lagrangeana do oscilador visto na Figura 14.7 é L = 1 2 M y ' 2 - 1 2 k y 2 - M g y - y 0 , onde y 0 é o ponto de referência para a energia potencial gravitacional. B) Mostre que o bloco oscila com frequência angular k / M em torno do ponto de coordenada y = - M g k .

Passo 1

Belezoca galerinha, a lagrangeana do sistema é dada por:

L = K - V

Onde K é a energia cinética do sistema, enquanto V é a energia potencial. E como se trata de um sistema massa mola na vertical, temos que a energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

E como estamos nos deslocando em y , temos que o deslocamento é y e sua derivada y ' representará a velocidade v , tal que:

K = 1 2 m y ' 2

Passo 2

Já a energia potencial, é formada por energia potencial da mola e energia potencial gravitacional devido ao deslocamento ∆ y = y - y 0 , tal que:

V = 1 2 k y 2 + M g y - y 0

Dessa maneira a lagrangeana é:

L = K - V

L = 1 2 m y ' 2 - 1 2 k y 2 - M g y - y 0

E como o bloco possui massa M , a mola possui constante elástica k e o sistema oscila harmonicamente, vamos ter que:

ω = k M

y - = - M g k

Resposta

  1. L = 1 2 m y ' 2 - 1 2 k y 2 - M g y - y 0
  2. ω = k M ,   y - = - M g k
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