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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 1

14.1E Uma pedra de massa m é atirada verticalmente para cima com velocidade v 0 . Mostre que as ações da pedra na subida e na descida têm o mesmo valor.

Passo 1

Belezoca galerinha, temos que a ação S sobre um movimento é dada por:

S = ∫ t 0 t 1 K - V   d t

Onde K é a energia cinética, e V é a energia potencial do sistema. Essa ação é calculada durante um intervalo t 0 e t 1 . O enunciado nos deu que a pedra de massa m é atirada verticalmente para cima com velocidade v 0 , isso quer dizer que a energia cinética introduzida pelo arremesso é dada por:

K = 1 2 m v 2

Onde v é a função velocidade, dada por:

v = v 0 - g t

Logo a energia cinética é:

K = 1 2 m v 0 - g t 2

K = 1 2 m v 0 2 - m v 0 g t + 1 2 m g t 2

Já a energia potencial, é dada pela expressão:

V = m g x

Onde x é a posição da partícula em função do tempo dada por x = g t 2 2 , logo:

V = m g g t 2 2

V = m g 2 t 2 2

Portanto, a ação na subida é pode ser escrita como:

S = ∫ t 0 t 1 K - V   d t

S = ∫ t 0 t 1 1 2 m v 0 2 - m v 0 g t + 1 2 m g t 2 - m g 2 t 2 2   d t

S = ∫ t 0 t 1 1 2 m v 0 2 - m v 0 g t   d t

Passo 2

Já esse intervalo de tempo, ocorre entre os instantes da velocidade v 0 e quando ela se anula com v = 0 , tal que:

v = v 0 - g ∆ t

0 = v 0 - g ∆ t

∆ t = v 0 g

Logo:

t 0 = 0 ,     t 1 = v 0 g

E nossa integral é reescrita como:

S = ∫ 0 v 0 g 1 2 m v 0 2 - m v 0 g t   d t

E resolvendo ela, obtemos que a ação na subida é:

S = ∫ 0 v 0 g 1 2 m v 0 2 d t - ∫ 0 v 0 g m v 0 g t   d t

S = m v 0 3 2 g - m v 0 3 2 g  

S = 0

Logo, a ação foi mínima na subida!!

Passo 3

Agora se a gente calcular a ação na descida, temos que:

S = ∫ t 0 t 1 K - V   d t

Onde a energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

E como a velocidade inicial na descida é nula, temos que a velocidade é expressa por:

v = v 0 + g t

v = g t

Logo a energia cinética é:

K = 1 2 m g 2 t 2

Já a energia potencial é dada por:

V = m g x

Onde x é a posição da partícula em função do tempo dada por x = x 0 - g t 2 2 , já que agora a pedra possui uma altura inicial x 0 , MAAAASSS essa altura a gente pode expressar em termos de v 0 , aplicando Torricelli, obtemos que:

v 2 = v 0 2 - 2 g x 0

0 2 = v 0 2 - 2 g x 0

Logo:

x 0 = v 0 2 2 g

Portanto, a altura da nossa pedra pode ser expressa pela função:

x = v 0 2 2 g - g t 2 2

E portando a energia potencial será:

V = m g v 0 2 2 g - g t 2 2

V = m v 0 2 2 - m g 2 t 2 2

Dessa maneira, a ação durante a descida, será dada por:

S = ∫ t 0 t 1 K - V   d t

S = ∫ t 0 t 1 1 2 m g 2 t 2 - m v 0 2 2 + m g 2 t 2 2   d t

S = ∫ t 0 t 1 3 2 m g 2 t 2 - m v 0 2 2   d t

Passo 4

E o intervalo onde isso ocorre, como o tempo de subida é igual ao tempo de queda, temos que:

S = ∫ 0 v 0 g 3 2 m g 2 t 2 - m v 0 2 2   d t

Logo:

S = m v 0 3 2 g - m v 0 3 2 g

S = 0

Exatamente igual a subida.

Resposta

Demonstração

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