Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 22.Exercícios - Ex. 29
Um condutor cilíndrico infinito possui raio e densidade superficial de carga . Em função de e , qual é a carga por unidade de comprimento para o cilindro? Em função de , qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma distância a partir de seu eixo? Expresse o resultado do item em função de e mostre que o campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se toda a carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo. Compare suas respostas com o resultado obtido para um fio carregado no Exemplo (Seção ).
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Para encontrar a carga por unidade de comprimento , temos que ficar atentos que:
E que:
Onde é a área lateral de uma parte do cilindro de comprimento . Então temos que brincar com essas equações e chegar no que o item quer.
Para o item , vamos usar a lei de Gauss ao nosso favor para encontrar o campo elétrico, já que:
Onde é a área de uma superfície cilíndrica de raio e é a carga dentro dessa superfície cilíndrica. Para achar essa carga podemos usar que , onde essa área é mesma que usamos no item .
O que o item quer que a gente expresse o campo elétrico em função de em vez de , para isso podemos usar a relação que vamos encontrar no item .
Vamos ao trabalho!
Passo 2
Começando com o item .
Temos o seguinte:
Agora substituindo isso que encontramos na expressão da densidade linear, temos:
Logo temos que:
Passo 3
Agora vamos para o item , temos o seguinte:
Onde a área é e podemos usar a expressão que encontramos para carga no passo , temos:
Passo 4
Agora vamos para o item .
Pegando o que chegamos no item e usando o resultado do item .
Temos o seguinte:
E esse é o mesmo campo que de um fio infinito na mesma direção do cilindro condutor do enunciado.