29 . Um condutor cilíndrico infinito possui raio R e densidade superficial de carga σ . ( a ) Em função de σ e R , qual é a carga por unidade de comprimento λ para o cilindro? ( b ) Em função de σ , qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma distância r > R a partir de seu eixo? ( c ) Expresse o resultado do item ( b ) em função de λ e mostre que o campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se toda a carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo. Compare suas respostas com o resultado obtido para um fio carregado no Exemplo 22.6 (Seção 22.4 ).

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrar a carga por unidade de comprimento λ , temos que ficar atentos que:

λ = q l

E que:

σ = q A

Onde A é a área lateral de uma parte do cilindro de comprimento l . Então temos que brincar com essas equações e chegar no que o item ( a ) quer.

Para o item ( b ) , vamos usar a lei de Gauss ao nosso favor para encontrar o campo elétrico, já que:

E A 1 = q ϵ 0

Onde A 1 é a área de uma superfície cilíndrica de raio r e q é a carga dentro dessa superfície cilíndrica. Para achar essa carga q podemos usar que σ = q / A , onde essa área é mesma que usamos no item ( a ) .

O que o item ( c ) quer que a gente expresse o campo elétrico em função de λ em vez de σ , para isso podemos usar a relação que vamos encontrar no item ( a ) .

Vamos ao trabalho!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos o seguinte:

σ = q A

⇒ q = σ A

⇒ q = σ 2 π R l

Agora substituindo isso que encontramos na expressão da densidade linear, temos:

λ = q l

⇒ λ = σ 2 π R l l

Logo temos que:

λ = σ 2 π R

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) , temos o seguinte:

E A 1 = q ϵ 0

Onde a área A 1 é 2 π r l e podemos usar a expressão que encontramos para carga q no passo 2 , temos:

E 2 π r l = σ 2 π R l ϵ 0

⇒ E = σ R ϵ 0 r

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Pegando o que chegamos no item ( b ) e usando o resultado do item ( a ) .

λ = σ 2 π R

⇒ σ = λ 2 π R

Temos o seguinte:

E = R ϵ 0 r λ 2 π R

⇒ E = λ 2 π ϵ 0 r

E esse é o mesmo campo que de um fio infinito na mesma direção do cilindro condutor do enunciado.

Resposta

( a )

λ = σ 2 π R

( b )

E = σ R ϵ 0 r

( c )

E = λ 2 π ϵ 0 r

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