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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 29.Problemas desafioadores - Ex. 74

29.74 Uma espira condutora quadrada de lado L , massa m e resistência total R está, inicialmente, sobre um plano horizontal x y , com os vértices nos pontos ( x ,   y ,   z )   =   ( 0,0 , 0 ) ,   ( 0 ,   L ,   0 ) ,   ( L ,   0 ,   0 )   e   ( L ,   L ,   0 ) . Na região onde a espira está existe um campo magnético uniforme B →   =   B k ^ . O lado da espira que se estende de ( 0 ,   0 ,   0 ) até ( L ,   0 ,   0 ) é mantido fixo sobre o eixo O x ; o restante da espi ra pode girar livremente em torno desse eixo. Quando a espira é libertada do repouso, ela começa a girar em virtude do torque produzido pela força da gravidade. ( a ) Determine o módulo, a direção e sentido do torque resultante sobre a espira no momento em que ela está girando para baixo com velocidade angular ω   e já girou um ângulo ϕ em relação à posição inicial. ( b ) Calcule a aceleração angular da espira no instante descrito no item ( a ) . ( c ) Comparando com o tempo que ela levaria para girar na ausência de campo magnético, a espira leva um tempo maior ou menor para girar um ângulo de 90 ° ? Explique. ( d ) A energia mecânica é conservada quando a espira gira para baixo? Explique.

Passo 1

( a )

τ g = ∑ r × m g

τ g = L 2 m 4 g s i n ( 90 ° - ϕ ) + L 2 m 4 g s i n ( 90 ° - ϕ ) + L m 4 g s i n ( 90 ° - ϕ )

τ g = m g L 2 cos ⁡ ϕ ,   h o r a r i o

τ B = τ × B

τ B = i A B s i n ϕ ,   a n t i - h o r a r i o

i = ε R

i = B A R d d t c o s ⁡ ( ϕ )    

i = B A ω R sin ⁡ ϕ ,   a n t i - h o r a r i a   e m + k

Desenvolvendo:

τ B = B 2 A 2 ω R sin 2 ⁡ ϕ

τ B = B 2 L 4 ω R sin 2 ⁡ ϕ

O torque resultante é:

τ = τ g - τ B

τ = m g L 2 cos ⁡ ϕ - B 2 L 4 ω R sin 2 ⁡ ϕ

n a   d i r e ç ã o   o p o s t a   a   d a   r o t a ç ã o

Passo 2

( b )

τ = i α     ,     i   c o m o   m o m e n t o   d e   i n e c i a

i = 5 12 m L 2

Assim:

α = 12 5 ⋅ 1 m L 2 ⋅ m g L 2 cos ⁡ ϕ - B 2 L 4 ω R sin 2 ⁡ ϕ  

α = 6 g 5 L cos ⁡ ϕ - 12 B 2 L 2 ω 5 m R sin 2 ⁡ ϕ  

Passo 3

c

Menor tempo.

Uma vez que se opõe ao torque gravitacional, o torque magnético retarda a queda.

Passo 4

( d )

Não, a energia mecânica não é conservada, pois alguma energia é perdida através do calor da resistência durante o giro.

Resposta

( a )

τ = m g L 2 cos ⁡ ϕ - B 2 L 4 ω R sin 2 ⁡ ϕ

n a   d i r e ç ã o   o p o s t a   a   d a   r o t a ç ã o

  ( b )

α = 6 g 5 L cos ⁡ ϕ - 12 B 2 L 2 ω 5 m R sin 2 ⁡ ϕ  

c

Menor tempo. Uma vez que se opõe ao torque gravitacional, o torque magnético retarda a queda.

  ( d )

Não, a energia mecânica não é conservada, pois alguma energia é perdida através do calor da resistência durante o giro.

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