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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 30.10 - Ex. 61

No instante t = 0 , uma bateria é ligada em série a um resistor e um indutor. Se a constante de tempo indutiva é 37,0   m s , em instante a taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é igual a taxa com a qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor?

Passo 1

Bom, se a bobina está ligada a um resistor e a uma fonte externa, trata-se de um circuito R L com aumento da corrente, que é dada por

i = ε R 1 - e - t τ

Queremos achar o instante de tempo em que a potência associada à energia armazenada no campo magnético do indutor é igual a potência dissipada no resistor. Para isso, vamos achar uma expressão para cada uma dessas potências:

A energia armazenada no campo da bobina é

U B = 1 2 L i 2

Assim, a potência associada será

P B = d U B d t = 1 2 ⋅ 2 L i ⋅ d i d t = L i d i d t

Mas sabemos que

d i d t = ε R τ e - t τ

Portanto, usando que τ = L / R :

P B = L i ⋅ ε L e - t τ = ε ⋅ ε R 1 - e - t τ ⋅ e - t τ = ε 2 R 1 - e - t τ ⋅ e - t τ

Passo 2

Agora vamos calcular a potência dissipada na resistência:

P R = R i 2

Assim,

P R = R ⋅ ε 2 R 2 1 - e - t τ 2 = ε 2 R 1 - e - t τ 2

Passo 3

Igualando as duas equações:

P B = P R ⇒ 1 - e - t τ ⋅ e - t τ = 1 - e - t τ 2

Assim,

e - t τ = 1 - e - t τ

Logo

2 e - t τ = 1 ⇒ e - t τ = 1 2 ⇒ - t τ = ln ⁡ 1 2 ⇒ t τ = ln ⁡ 2

Portanto,

t = τ ⋅ ln ⁡ 2

Assim, como τ = 37,0   m s , temos que

t = 25,6   m s

Resposta

t = 25,6   m s

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