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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 32.Exercício - Ex. 34

34- Mostre que as ondas estacionárias do campo magnético e do campo elétrico para ondas eletromagnéticas estacionárias indicadas pelas equações ( 32.34 ) e ( 32.35 )

( a ) satisfazem a Equação de onda ( 32.15 ) ;

b satisfazem as equações ( 32.12 ) e ( 32.14 ) .

Passo 1

As equações 32.34 e 32.35 são:

E y x , t = - 2 E m á x   s e n k x s e n ( ω t )

B z x , t = - 2 B m á x cos ⁡ k x c o s ⁡ ( ω t )

Fazendo a ( 32.15 ) nós temos:

∂ 2 E y x , t ∂ x 2 = ϵ 0 μ 0 ∂ 2 E y x , t ∂ t 2

Fazendo as derivadas parciais em relação a x e a t do campo elétrico nós temos:

∂ E y ∂ t = - 2 ω E m á x   s e n k x c o s ω t ; ∂ 2 E y ∂ t 2 = 2 ω 2 E m á x   s e n k x s e n ω t

E

∂ E y ∂ x = - 2 k E m á x   c o s k x s e n ω t ; ∂ 2 E y ∂ x 2 = 2 k 2 E m á x   s e n k x s e n ω t

Então:

2 k 2 E m á x   s e n k x s e n ω t = μ 0 ϵ 0 2 ω 2 E m á x   s e n k x s e n ω t

Dessa forma:

k 2 = μ 0 ϵ 0 ω 2

Onde:

c 2 = 1 μ 0 ϵ 0

Então:

k 2 = ω 2 c 2

k = ω c

k = 2 π f c

Só que como c = λ f então:

k = 2 π λ

O que prova nosso teorema, pois k é o número de onda e que é encontrado dessa forma mesmo.

Passo 2

As equações ( 32.12 ) e ( 32.14 ) são:

∂ E y x , t ∂ x = - ∂ B z x , t ∂ t

- ∂ B z x , t ∂ x = ϵ 0 μ 0 ∂ E y x , t ∂ t

Como temos as derivadas parciais do campo elétrico vamos fazer a do campo magnético.

∂ B z ∂ x = 2 k B m á x s en ⁡ k x c o s ⁡ ( ω t )

∂ B z ∂ t = 2 ω B m á x cos ⁡ k x s e n ⁡ ( ω t )

Então pelo primeiro teorema temos:

- 2 k E m á x   c o s k x s e n ω t = - 2 ω B m á x cos ⁡ k x s e n ⁡ ( ω t )

Então temos:

k E m á x = ω B m á x

Onde E m á x = c B m á x será:

k c B m á x = ω B m á x

k = ω c

Mesma coisa que no passo anterior.

Passo 3

Agora para a segunda equação da letra b temos:

- 2 k B m á x sen ⁡ k x cos ⁡ ω t = - μ 0 ϵ 0 2 ω E m á x   s e n k x c o s ω t  

Dessa forma temos:

k B m á x = ω μ 0 ϵ 0 E m á x

Como:

E m á x = c B m á x

Então:

k B m á x = ω μ 0 ϵ 0 c B m á x

E como:

c 2 = 1 μ 0 ϵ 0

Então:

k = ω c c 2 = ω c

O que nos prova de novo a equação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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