38.16. Calcule o maior e o menor comprimento de onda da série de Lyman e da série de Paschen para o átomo de hidrogênio. Em que região do espectro eletromagnético cada série se situa?

Passo 1

Vamos começar pela Série de Lyman:

1 λ = R 1 1 2 - 1 n 2                   n = 2,3 , 4 …

Bom, podemos ver que quanto menor n , menor o comprimento de onda, então o menor comprimento de onda acontece no menor n , que no caso é n = 2

1 λ m a x = R 1 1 - 1 2 2

Então

λ m a x = 4 3 R

Substituindo o valor de R

λ m a x = 4 3 1,097 ⋅ 10 - 7 = 121,5   n m

Esse é o menor comprimento de onda. Agora vamos encontrar o maior. Bom podemos usar o mesmo raciocínio, quanto maior n menor o comprimento de onda. Mas o maior n é n = ∞ . Vamos ter que usar limite.

λ m i n = lim n → ∞ ⁡ R 1 1 2 - 1 n 2

Bom no limite onde n → ∞

1 n 2 → 0

Então podemos fazer

λ m i n = R 1 1 2 - 0

Então

λ m i n = 1 R

Substituindo os valores

λ m i n = 1 1,097 ⋅ 10 - 7 = 91,16   n m

Esse é o menor comprimento de onda para série de Lyman.

Passo 2

Agora vamos ver para série de Paschen. A equação é a seguinte

1 λ = R 1 3 2 - 1 n 2             n = 4 ,   5 ,   6 ,   …

A equação é bem parecida com a de Lyman não é? A vantagem aqui é que a gente vai usar o mesmo raciocínio, quanto maior n menor o comprimento de onda, e quanto menor o n maior o comprimento de onda.

Vamos calcular o maior comprimento de onda primeiro

1 λ m a x = R 1 3 2 - 1 4 2

Já que n = 4 é o menor n possível na série de Paschen. Então

1 λ m a x   = R 16 - 9 144

λ m a x = 144 7 R

Substituindo o valor de R

λ m a x = 144 7 1,092 ⋅ 10 7 = 1875   n m

Agora vamos calcular o menor comprimento de onda, e como no primeiro passo, n → ∞

1 λ m i n = lim n → ∞ ⁡ R 1 3 2 - 1 n 2

No limite onde n → ∞

1 n 2 → 0

Então podemos fazer

1 λ m i n = R 1 3 2 - 0

Então

λ m i n = 9 R

Substituindo os valores

λ m i n = 9 1,097 ⋅ 10 7 = 820 , 42   n m

Esse é o menor comprimento de onda para série de Paschen.

Passo 3

A série de Lyman está numa região abaixo da luz visível no espectro magnético, na região ultravioleta. Enquanto na série de Paschen está numa região acima da luz visível, no infravermelho.

Resposta

Série de Lyman

λ m a x = 121,5   n m

λ m i n = 91,16   n m

Série de Paschen

λ m a x = 1875   n m

λ m i n = 820,42   n m

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