Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 43
43. Um feixe de elétrons é um feixe de fótons passam por fendas idênticas. Em uma tela distante, a primeira franja escura ocorre no mesmo ângulo para ambos os feixes. A velocidade dos elétrons é bem menor do que a da luz. Expresse a energia de um fóton em termos da energia cinética de um dos elétrons. Qual é maior, a energia de um fóton ou a energia cinética de um elétron?
Passo 1
Para resolver esse problema pessoal, teremos que usar nossos conhecimentos de óptica, lembrando da difração por fenda única.
Mas por quê?
Porque os fótons e os elétrons nesse caso apresentam comportamento ondulatório sofrendo difração.
Lembrando que para fenda única temos a seguinte equação:
Então tanto o elétron, quanto o fóton obedecem a essa equação. E como temos o mesmo ângulo para ambos (segundo o enunciado) e o mesmo , ambos teram o mesmo comprimento de onda .
Podemos usar para os dois já que estamos usando a informação de que a PRIMEIRA franja escura de ambos ocorre no mesmo local.
Só precisamos de mais duas informações para resolver esse problema. A energia do fóton é dada por:
E o comprimento de onda de De Broglie para o elétron é dada por:
Onde para o elétron pode ser escrito como:
Agora vamos atrás do objetivo.
Passo 2
Agora vamos fazer o seguinte sabemos que para o elétron temos que:
Logo, temos que:
E para o fóton temos que:
E como vimos no passo os fótons e os elétrons têm o mesmo comprimento de onda, logo:
Então temos que:
Pronto, encontramos a energia do fóton em termos da energia cinética do elétron.
Passo 3
Agora temos que analisar se a energia do fóton é maior que a energia cinética do elétron.
Do passo anterior, encontramos que:
Agora vamos usar uma estratégia, vamos dividir os dois lados da equação por , se provarmos que a razão , temos que .
Então:
A energia cinética do elétron depende de sua velocidade e o enunciado nos disse que a velocidade do elétron é muito menor que a da luz (que é a velocidade do próton), então temos que:
Logo a razão
Então temos que:
Logo: