Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 30.Exercícios - Ex. 47
Considere o cabo coaxial do Problema . As correntes dos condutores possuem o mesmo módulo , porém seus sentidos são opostos. Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. Use a expressão da densidade de energia do campo magnético, Equação , para calcular a
energia armazenada em uma camada cilíndrica fina entre os dois condutores. Suponha que a camada cilíndrica possua raio interno , raio externo e comprimento . Integre a expressão encontrada no item sobre o volume entre os dois condutores para calcular a energia total armazenada no campo magnético para um comprimento do cabo. Use o resultado do item e a Equação para calcular a indutância de um comprimento do cabo. Compare sua resposta ao resultado obtido no item do Problema .
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão!
O item quer que a gente use a lei de Ampère para achar o campo o campo magnético em qualquer ponto entre os condutores. Essa lei é da seguinte forma:
Onde é a corrente que passa dentro da curva amperiana que estamos considerando para o cálculo da integral.
O item quer a energia armazenada em uma camada cilíndrica de raio interno e externo e usando a equação dada por:
Essa equação nos fornece a densidade de energia, isso nada mais é que energia por unidade de volume, logo a energia armazenada é:
Onde é o elemento de volume da camada cilíndrica que nesse caso é dado por . Então o que o enunciado quer a expressão de .
O item quer que a gente intere a expressão que vamos achar em para achar a energia total armazenada entre os condutores. Como podemos ver pelo elemento de volume o que varia é a direção , que nesse caso vai variar de (raio menor) até (raio maior).
O item quer o valor de e diz para usarmos a equação , que é dada por:
Junto com o resultado do item , com isso a gente consegue isolar e encontrar uma expressão para ele.
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar com o item .
Temos o seguinte:
Como nesse tipo de caso (campo de fio) o campo é paralelo a , temos:
Vamos char a corrente que passa pela amperiana de . Como o campo não tem razão para não ser homogêneo, temos:
A integral de vai nos fornecer o comprimento da amperiana que no caso é uma circunferência, assim:
Passo 3
Agora vamos para o item .
Temos que a densidade de energia é dada por:
Usando a expressão para o campo que chegamos em , temos:
Agora usando isso e a expressão para o elemento de volume na expressão de , temos:
Passo 4
Agora vamos para cima do item .
Aqui nós temos que integrar a expressão que encontramos em de até , então:
Então temos que:
Passo 5
Agora finalmente o último item! O .
Temos que ir atras de , nó temos o seguinte:
E do item anterior temos:
Igualando as duas equações, temos:
Com isso temos uma questão finalizada em mãos!