Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 61
61. No laboratório, você está tentando determinar a indutância e a resistência interna de um solenoide. Você o instala em série a uma bateria de resistência interna desprezível, um resistor de e uma chave. A seguir, você conecta um osciloscópio a um desses elementos de circuito para medir a voltagem que passa por ele em função do tempo. Você fecha a chave e o osciloscópio indica a voltagem contra o tempo conforme a Figura . A qual elemento de circuito (solenoide ou resistor) o osciloscópio está conectado? Como você sabe? Por que o gráfico não se aproxima de zero enquanto tende a ? Qual é a fem da bateria? Determine a corrente máxima no circuito. Quais são a resistência interna e a indutância do solenoide?
Passo 1
Primeiro, o circuito que temos no enunciado é um circuito , então temos que a corrente se comporta da seguinte maneira:
Essa fórmula mostra que a corrente cresce com o tempo.
Temos que a diferença de potencial através de um resistor é dada por:
E através de um indutor é dada por:
Tendo essas duas fórmulas temos que ver como elas se comportam com a evolução da corrente com o tempo e ver em qual dos dois o osciloscópio está ligado.
Se você observar a primeira expressão, temos que como é crescente, logo também cresce.
Agora a grandeza que é dada por:
Decresce com o tempo, então também decresce com o tempo, então faz mais sentido o gráfico ser relacionado ao solenoide então o osciloscópio está conectado a ele.
Passo 2
Bem, quando , dá para ver na fórmula para a corrente que ela tende a o valor de , que é a corrente final . O enunciado diz que o solenoide tem uma resistência interna , então a diferença de potencial nessa resistência pode ser determina pela lei de Ohm’s, assim:
Onde é a corrente final, se olhássemos só para a fórmula que tínhamos no passo quando teríamos , logo a voltagem iria zero, mas ela não chega a zero justamente por conta dessa resistência interna.
Passo 3
A fem da bateria é dada pela tensão inicial do indutor, mas por que isso?
Como discutimos anteriormente, através das seguintes fórmulas:
Temos que voltagem do solenoide cai com tempo e a do resistor cresce com o tempo.
Então para voltagem do solenoide cai com o tempo e ela começa de algum valor maior que , então o valor inicial mostrado no gráfico é o valor da fem da bateria, logo temos que:
Passo 4
Bem, sabemos que a corrente máxima ocorre em , vamos aplicar a lei das malhas de Kirchhoff para esse instante e temos que:
Onde é a tensão no resistor e é a tensão da resistência interna do solenoide e é a corrente máxima.
O valor de pode ser tirado do gráfico do enunciado, já que esse é a tensão final quando , logo olhando no gráfico temos:
O valor da fem já descobrimos no passo anterior, então ficamos com o seguinte:
Temos que agora basta isolar e achar seu valor, temos:
Então temos que:
Passo 5
A resistência interna pedida no item é fácil de encontrar, pois sabemos que:
Então isolando e substituindo , temos:
Passo 6
Agora usando a lei das malhas novamente, mas sem ser o caso de indo para o infinito, temos o seguinte:
Isolando , temos:
Sabemos que:
Onde é a resistência total do circuito assim . Chamando de , temos:
Juntando isso com a expressão para que encontramos, ficamos com:
Tendo isso vamos considerar que passa um intervalo de tempo e ver que valor de voltagem no solenoide, tendo isso podemos olhar no gráfico e ver qual valor de isso representa, tendo esse valor podemos achar a indutância, já que:
Então para , temos:
Substituindo os valores que conhecemos temos:
Isso nos dá que:
Olhando no gráfico isso corresponde a mais ou menos .
Então temos que:
Onde , logo:
Resposta
O osciloscópio está conectado ao solenoide.
Porque o solenoide tem uma resistência interna que impede que o potencial vá a zero.