A Figura 25.8 mostra dois blocos imantados de Alnico V, ambos com volume de 250   c m 3 . Utilizando a aproximação de dipolo para a interação entre os dois blocos, calcule a força de atração entre eles.

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

Para resolver esse problema vamos usar o resultado do problema anterior, em que calculamos que a magnetização de um bloco de Alnico V é

M = 1,03 ⋅ 10 6   A / m

Com isso, podemos calcular o momento magnético μ do bloco lembrando que

M = μ V o l → μ = M ⋅ V o l

O volume do bloco é V o l = 250 ⋅ 10 - 6   m 3 = 2,5 ⋅ 10 - 4   m 3 , de modo que

μ = 1,03 ⋅ 10 6 ⋅ 2,5 ⋅ 10 - 4 = 2,57 ⋅ 10 2   A m 2

Passo 2

Na seção 25.1 do livro vimos que a força que um dipolo sente sob ação de um gradiente de campo é

F = μ ∂ B z ∂ z

Desta forma, temos que calcular o gradiente do campo criado pelo de baixo na posição do dipolo de cima. Para isso, usamos a expressão dada pela equação 22.21 do livro para a componente z do campo produzido por um dipolo:

B z = μ 0 μ 4 π 3 z 2 r 5 - 1 r 3

Vamos derivar essa expressão com relação a z lembrando que

r = x 2 + y 2 + z 2 → ∂ r ∂ z = z r

Com isso, temos que

∂ B z ∂ z = μ 0 μ 4 π 6 z ⋅ r 5 - 3 z 2 ⋅ 5 r 4 ⋅ ∂ r ∂ z r 10 + 3 r 4 ⋅ ∂ r ∂ z

Logo,

∂ B z ∂ z = μ 0 μ 4 π 6 z r 5 - 15 z 2 r 4 ⋅ z r r 10 + 3 r 4 ⋅ z r

Como vamos ver o valor desse campo sobre o eixo z , podemos tomar x = y = 0 , de modo que r = z :

∂ B z ∂ z = μ 0 μ 4 π 6 z 6 - 15 z 6 z 10 + 3 z 4 = - 3 μ 0 μ 2 π z 4

Usando os valores em módulo, a força será

F = μ ⋅ 3 μ 0 μ 2 π z 4 = 3 μ 0 μ 2 2 π z 4

Agora é só substituir os valores com z = 0,40   m :

F = 3 ⋅ 4 π ⋅ 10 - 7 ⋅ 2,57 ⋅ 10 2 2 2 π ⋅ 0,40 4

Portanto,

F = 1,55   N

Resposta

F = 1,55   N

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