64. Se um cilindro vertical de água (ou qualquer outro líquido) gira em torno de seu eixo, como mostra a FIGURA PD8.64, a superfície forma uma curva suave. Considerando que a água gire como uma unidade (i.e., toda ela gira com a mesma velocidade angular), mostre que a forma da superfície do líquido é uma parábola descrita pela equação .

Sugestão: cada partícula de água na superfície experimenta somente duas forças: a gravidade e a força normal devido à água embaixo dela. A força normal, como sempre, é exercida perpendicularmente à superfície

Em seguida, uma vez que esse ponto está em equilíbrio na direção vertical... Para o eixo , temos a seguinte equação...

Isolando :

Já para o eixo , a outra componente da normal , vai ser a responsável por puxar o ponto para o centro da trajetória em um movimento circular. Em síntese, vai ser a nossa resultante centrípeta. De modo que ficamos com...

Isolando :

Depois, dividindo por :

Agora repara só!

A curva formada pelo giro do cilindro se assemelha muito a de uma função do grau, cujo eixo de simetria passa exatamente pelo eixo .

E como essa curva tem concavidade para baixo, então nossa equação vai ser a seguinte...

Derivando em relação a ...

Essa equação descreve a localização no nosso ponto na curva!

E pegando o diagrama de corpo livre que fizemos, podemos ver que:

Desse modo, bora usar a aproximação abaixo para a localização do nosso ponto ...

Ficamos então, com...

E igualando essa expressão com aquela outra do , que descobrimos para ...

Isolando ...

Ficou moleza agora! Como ... Subsituindo a expressão do obtida anteriormente...

Viu só! É a mesma expressão do enunciado

Sendo assim! Missão finalizada com sucesso!