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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 24.Exercícios - Ex. 70

70 . Você está projetando capacitores para diversas aplicações. Para uma das aplicações, você deseja obter a maior energia acumulada possível. Para uma segunda aplicação, você deseja obter a carga máxima acumulada no sistema. Para uma terceira aplicação, você deseja obter a diferença de potencial máxima sem que ocorra a ruptura dielétrica do capacitor. Você começa com um capacitor plano de placas paralelas com ar entre as placas, sendo C 0 = 6,0   p F e a distância entre as placas igual a 2,50   m m . A seguir, você deseja usar cada um dos materiais dielétricos listados na Tabela 24.2 . Em cada aplicação o dielétrico deve preencher todo o volume entre as placas, e o campo elétrico não pode passar de 50 % do valor de rigidez dielétrica fornecida naquela tabela. ( a ) Calcule o valor da energia elétrica armazenada no capacitor para cada um dos cinco materiais listados naquela tabela. ( b ) Para cada material, qual é a carga Q acumulada em cada placa do capacitor? ( c ) Para cada material, qual é a tensão elétrica aplicada entre as placas do capacitor? ( d ) Qual dos materiais listados naquela tabela você escolheria para que a constante dielétrica se adaptasse melhor para as três experiências?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Umas das coisas principais desse problema é calcular a capacitância dos materiais que vamos usar no capacitor, para isso podemos usar a seguinte relação:

C = K C 0

Onde K é a constante dielétrica do material e C 0 a capacitância do ar (o enunciado já nos deu!).

Precisamos também saber calcular a energia elétrica armazenada no capacitor, já que o item ( a ) quer saber isso, então vamos usar a seguinte equação:

U = 1 2 C V 2

Só que não conhecemos a tensão elétrica aplicada, então podemos usar que V = E d , mas o enunciado fala que o campo elétrico deve ser igual a 50 % do valor de rigidez dielétrica, logo V = 0,5 E m d , então juntando tudo, temos:

U = 1 2 K C 0 0,5 E m d 2

Para calcular a carga Q em cada material que o item ( b ) quer, podemos usar a seguinte equação:

Q = C V

Usando as expressões que temos para C e V , temos:

Q = K C 0 ( 0,5 E m d )

E para calcular a tensão pedida em ( c ) podemos usar a mesma expressão que usamos antes para tensão.

V = E d = 0,5 E m d

Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Temos que calcular a energia para cada material. Vamos começar na ordem da tabela 24.2 .

Policarbonato:

U = 1 2 K C 0 0,5 E m d 2

⇒ U = 1 2 ( 2,8 ) ( 6 × 10 - 12 ) 0,5 3 × 10 7 0,0025 2

⇒ U = 1,18 × 10 - 2   J

Poliéster:

⇒ U = 1 2 ( 3,3 ) ( 6 × 10 - 12 ) 0,5 6 × 10 7 0,0025 2

⇒ U = 5,56 × 10 - 2   J

Polipropileno:

⇒ U = 1 2 ( 2,2 ) ( 6 × 10 - 12 ) 0,5 7 × 10 7 0,0025 2

⇒ U = 5,05 × 10 - 2   J

Poliestireno:

⇒ U = 1 2 ( 2,6 ) ( 6 × 10 - 12 ) 0,5 2 × 10 7 0,0025 2

⇒ U = 4,87 × 10 - 3   J

Vidro Pyrex®:

U = 1 2 ( 4,7 ) ( 6 × 10 - 12 ) 0,5 1 × 10 7 0,0025 2

⇒ U = 2,2 × 10 - 3   J

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) . Temos que calcular a carga armazenada para cada material, vamos nessa então!

Policarbonato:

Q = K C 0 ( 0,5 E m d )

⇒ Q = ( 2,8 ) ( 6 × 10 - 12 ) ( 0,5 3 × 10 7 0,0025 )

⇒ Q = 6,3 × 10 - 7   C

Poliéster:

⇒ Q = ( 3,3 ) ( 6 × 10 - 12 ) ( 0,5 6 × 10 7 0,0025 )

⇒ Q = 1,48 × 10 - 6   C

Polipropileno:

⇒ Q = ( 2,2 ) ( 6 × 10 - 12 ) ( 0,5 7 × 10 7 0,0025 )

⇒ Q = 1,15 × 10 - 6   C

Poliestireno:

⇒ Q = ( 2,6 ) ( 6 × 10 - 12 ) ( 0,5 2 × 10 7 0,0025 )

⇒ Q = 3,9 × 10 - 7   C

Vidro Pyrex®:

Q = ( 4,7 ) ( 6 × 10 - 12 ) ( 0,5 1 × 10 7 0,0025 )

⇒ Q = 3,52 × 10 - 7   C

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) . Queremos agora a tensão entre as placas para cada material.

Policarbonato:

V = 0,5 E m d

⇒ V = 0,5 3 × 10 7 0,0025

⇒ V = 3,75 × 10 4   V

Poliéster:

⇒ V = 0,5 6 × 10 7 0,0025

⇒ V = 7,5 × 10 4   V

Polipropileno:

⇒ V = 0,5 7 × 10 7 0,0025

⇒ V = 8,75 × 10 4   V

Poliestireno:

⇒ V = 0,5 2 × 10 7 0,0025

⇒ V = 2,5 × 10 4   V

Vidro Pyrex®:

V = 0,5 1 × 10 7 0,0025

⇒ V = 1,25 × 10 4   V

Passo 5

Agora vamos para o último item, item ( d ) !

Ele quer saber qual material podemos escolher para ter o melhor resultado nos três valores que calculamos.

Mas olhando esses valores, vemos que o poliéster é melhor para armazenar energia e carga, mas polipropileno ganha para tensão.

Então nenhum dos materiais é o melhor para as três categorias.

Resposta

( a )

Policarbonato:

U = 1,18 × 10 - 2   J

Poliéster:

U = 5,56 × 10 - 2   J

Polipropileno:

U = 5,05 × 10 - 2   J

Poliestireno:

U = 4,87 × 10 - 3   J

Vidro Pyrex®:

U = 2,2 × 10 - 3   J

( b )

Policarbonato:

Q = 6,3 × 10 - 7   C

Poliéster:

Q = 1,48 × 10 - 6   C

Polipropileno:

Q = 1,15 × 10 - 6   C

Poliestireno:

Q = 3,9 × 10 - 7   C

Vidro Pyrex®:

Q = 3,52 × 10 - 7   C

( c )

Policarbonato:

V = 3,75 × 10 4   V

Poliéster:

V = 7,5 × 10 4   V

Polipropileno:

V = 8,75 × 10 4   V

Poliestireno:

V = 2,5 × 10 4   V

Vidro Pyrex®:

V = 1,25 × 10 4   V

( d )

Explicado acima!

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