Enunciado

80- Paleoclima. Climatologistas podem determinar a temperatura da Terra no passado comparando o isótopo do oxigênio 18 com o isótopo do oxigênio 16 no ar condicionado em placas de gelo antigas, como as existentes em Greenland. Em um dos métodos para separar esses isótopos, uma amostra contendo ambos os isótopos é inicialmente convertida em íon único (um elétron é removido) e a seguir, acelerada a partir do repouso através de uma diferença de potencial V . Esse feixe penetra um campo magnético B em um ângulo reto com o campo e é encurvado a um quarto de círculo. Um detector de partícula no final da trajetória mede a quantidade de cada isótopo.

( a ) Mostre que a separação Δ r dos dois isótopos no detector é dada por

Δ r = 2 e V e B m 18 - m 16  

Em que m 16 e m 18 são as massas dos dois isótopos de oxigênio.

( b ) As medidas das massas dos dois isótopos são 2.66 × 10 - 26   k g ( O 16 ) e 2.99 × 10 - 26 k g ( O 18 ) . Se o campo magnético for igual a 0.050   T , qual deve ser o potencial de aceleração V para que esses dois isótopos estejam separados em 4.0   c m no detector?

Passo 1

O raio feito pela partícula do oxigênio 18 pode ser calculado como:

q v B = m 18 v 2 R 18

R 18 = m 18 v 18 q B

E a do oxigênio 16 será:

R 16 = m 16 v 16 q B

E a separação dos dois isótopos será dada por:

Δ r = R O 18 - R O 16

Uma vez que a massa do oxigênio 18 é maior que a massa do oxigênio 16 então para uma mesma força magnética , teremos que ter um raio maior para esse isótopo também.

Logo para carga igual a e temos:

Δ r = m 18 v 18 e B - m 16 v 16 e B = 1 e B ( v 18 m 18 - v 16 m 16 )

Precisamos então de uma relação para a velocidade das duas partículas.

A energia potencial elétrica na partícula se transforma em energia cinética de modo que:

q V = m v 2 2

Logo:

v = 2 q V m

Então:

Δ r = 1 e B 2 e V m 18 m 18 - 2 e V m 16 m 16

Δ r = 2 e V e B m 18 - m 1 6

Passo 2

Então para os dados da letra b nós temos:

4 × 10 - 2 = 2 × 1.6 × 10 - 19 V 1.6 × 10 - 19 × 0.05 2.99 × 10 - 26 - 2 . 66 × 10 - 26

Isso nos dá:

3.528 × 10 - 8 = 3.2 × 10 - 19 V

V = 3.32   k V

Resposta

b )   V = 3.32   k V

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