Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 34.Problemas - Ex. 93
93. Um espelho côncavo e um espelho convexo são colocados sobre o mesmo eixo ótico, e a distância entre eles é . O raio de curvatura de cada espelho possuí módulo de . Uma fonte luminosa é colocada a uma distância do espelho côncavo, como indicado na Figura . Qual deve ser a distância para que os raios que emanam da fonte retornem a ela depois de se refletirem inicialmente no espelho convexo e a
seguir no espelho côncavo? Repita o cálculo do item supondo que os raios se reflitam inicialmente no espelho côncavo e a seguir no espelho convexo.
Passo 1
Então galera, vamos começar a pensar nesse problema, o que queremos bem dizer é um valor de para que a imagem da fonte seja forma da na mesma posição que essa se encontrar.
Sendo no item refletindo primeiro no espelho convexo depois no côncavo e no item refletindo primeiro no espelho côncavo depois no convexo.
Para o s dois itens vamos usar a mesma equação que fornece a posição da imagem no espelho esférico, dada por:
Onde é a posição do objeto, a posição da imagem e a distância focal.
Nos dois itens vamos usar o mesmo raciocínio o que vai mudar é a ordem dos espelhos.
O raciocínio é o seguinte, primeiro vamos encontrar a posição da imagem do objeto em relação ao primeiro espelho que houve reflexão, pois essa imagem é que vamos considerar como novo objeto para refletir no segundo espelho.
Assim usando a posição que encontramos mais a distância entre os espelhos como a nova posição do objeto vamos calcular a posição da imagem no segundo espelho para que ela seja igual a (que representa que os raios estão voltando para a fonte original).
Passo 2
Vamos lá então, vamos começar com , temos que encontrar posição da imagem em relação ao primeiro espelho , no caso o convexo, vamos usar a equação que comentei no passo , temos:
Vamos nos atentar a umas coisinhas, a distância focal é metade do raio de curvatura, para o espelho convexo essa distância focal é negativa, assim:
A distância do objeto em relação ao primeiro espelho vai ser dada pela diferença entre a distância entre os espelhos e a distância do objeto em relação ao segundo espelho, assim:
Assim, temos que:
Então essa é a posição da imagem do objeto em relação ao primeiro espelho, o sinal de negativo é só para indicar que a imagem está do lado esquerdo do espelho.
Então essa posição mais a distância entre os espelhos vai ser a distância do objeto em relação ao segundo espelho. Assim:
Passo 3
Agora vamos usar a equação do passo mais uma vez, mas agora da seguinte maneira:
Onde é o que encontramos no item anterior e que é a condição dos raios voltarem para o objeto original, assim:
Agora vamos encontrar .
Agora temos que resolver essa equação do segundo grau, e vamos fazer isso com a nossa famosa fórmula de Bhaskara. Assim, temos que:
Então temos que:
Assim temos que:
Ou
O único resultado possível é já que tem que ser menor que
Passo 4
Agora vamos para o item , temos que encontrar posição da imagem em relação ao primeiro espelho , no caso o concavo, vamos usar a equação que comentei no passo , temos:
Vamos nos atentar a umas coisinhas, a distância focal é metade do raio de curvatura, assim:
A distância do objeto em relação ao primeiro espelho vai ser dada por
Assim, temos que:
Então essa é a posição da imagem do objeto em relação ao primeiro espelho. Como ela é positiva essa imagem está a esquerda do espelho.
Então distância entre os espelhos menos essa posiçã vai ser a distância do objeto em relação ao segundo espelho. Assim:
Passo 5
Agora vamos usar a equação do passo mais uma vez, mas agora da seguinte maneira:
Onde é o que encontramos no item anterior e que é a condição dos raios voltarem para o objeto original, assim:
Agora vamos encontrar . Temos:
Agora temos que resolver essa equação do segundo grau, e vamos fazer isso com a nossa famosa fórmula de Bhaskara. Assim, temos que:
Então temos que:
Assim temos que:
Ou
O único resultado possível é já que tem que ser menor que