Aglomerações de pinguins. Para suportar o frio da Antártica, os pinguins-imperadores se aglomeram (Figura). Suponha que um pinguim é um cilindro circular de altura e com uma área da base . Seja a taxa com a qual um pinguim isolado irradia energia para o ambiente (através das superfícies superior e lateral); nesse caso, é a taxa com a qual pinguins iguais e separados irradiam energia. Se os pinguins se aglomeram para formar um cilindro único de altura e área da base , o cilindro irradia com uma taxa . Se , determine (a) o valor da razão e (b) a redução percentual da perda de energia devido à aglomeração.

A área de um pinguim sozinho (ou seja, a área de um cilindro “com tampa”) é:

Onde é a área da “tampa”, que o enunciado já deu. Podemos aproveitar ela pra achar o valor do raio :

E aí a área do pinguim solitário fica:

Agora vamos ver a área de pinguins aglomerados, o cilindro de pinguins:

E agora podemos fazer quase a mesma coisa pra achar esse novo raio :

E então:

(a) Então beleza, agora vamos usar o fato de que a potência com que a energia é irradiada é proporcional às áreas de superfície.

Então vamos ver a razão entre a “potência” do cilindro de pinguins e de pinguins solitários:

Dividindo em cima e embaixo por :

E agora vamos substituir os valores:

E então:

(b) Se a razão entre as potências que acabamos de calcular é próxima de , isso quer dizer que pinguins aglomerados irradiam só da energia que pinguins separados irradiam.

Então a redução da perda de energia é:

Resolvido!