Uma amostra de um gás ideal contém 1,50   m o l de moléculas diatômicas que giram, mas não oscilam. O diâmetro das moléculas é 250   p m . O gás sofre uma expansão a uma pressão constante de 1,50.10 5   P a , com uma transferência de 200   J na forma de calor. Qual é a variação do livre caminho médio das moléculas?

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada na fórmula do livre caminho médio:

λ = 1 2 π d 2 ( N / V )

Todos os valores aí são constantes: o diâmetro d da molécula não muda, e nem o número total N de moléculas na amostra, então se dermos uma arrumada nessa fórmula:

λ = V 2 π d 2 N

E a variação do λ vai depender só do volume, ou seja:

Δ λ = Δ V 2 π d 2 N

Passo 2

Mas como não sabemos a variação do volume, temos que dar um jeito de escrever isso em função de alguma grandeza que o enunciado deu.

Começamos usando a lei dos gases ideais para uma variação de voluma a pressão constante:

p Δ V = n R Δ T

Δ V = n R Δ T p

E então:

Δ λ = n R Δ T 2 π d 2 N p

E agora podemos trocar a variação de temperatura pelo calor absorvido pelo gás (que o enunciado já deu), usando essa fórmula aqui:

Q = n C P Δ T

Já que o processo todo acontece a pressão constante.

Substituindo isso na equação de cima:

Δ λ = n R Q n C P 2 π d 2 N p = Q R 2 π d 2 N p C P

Passo 3

Agora já temos quase todos os valores:

Q = 200   J

R = 8,31   J / m o l . K

d = 250   .   10 - 12   m

N = n N A = 1,50   m o l 6,02.10 23 p a r t í c u l a s m o l = 9,03   .   10 23   p a r t í c u l a s

p = 1,50   .   10 5   P a

C P = C V + R = 5 2 R + R = 7 2 R

Essa última fórmula leva em conta que o gás é diatômico.

Substituindo tudo:

Δ λ = 200 8,31 2 π 250.10 - 12 2 9,03.10 23 1,50.10 5 7 2 8,31

Δ λ = 1,51928.10 - 9 ≅ 1,52   .   10 - 9   m

Resolvido!

Resposta

A variação é de 1,52   .   10 - 9 metros.

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