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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 69

Para o anel carregado integre a expressão E x , E x = 1 4 π ϵ o Q x x 2 + a 2 3 / 2 , para determinar o potencial em um ponto P sobre o eixo do anel. Considere V = 0 a uma distância infinita. Compare seu resultado com o obtido V = Q 4 π ϵ o 1 x 2 + a 2 .

Passo 1

Podemos achar o potencial a partir da relação:

V a - V b = ∫ a b E _ ⋅ d l _

Pelo enunciado temos V ∞ = 0 ( a = ∞ )

V = - ∫ ∞ x 1 4 π ϵ o Q x ' x ' 2 + a 2 3 / 2 d x '

V = - Q 4 π ϵ o ∫ ∞ x x ' x ' 2 + a 2 3 / 2 d x '

Passo 2

Precisamos agora resolver a integral ∫ x x 2 + a 2 3 / 2 d x

Vamos chamar:

u 2 = x 2 + a 2

u ⋅ d u = x ⋅ d x

Teremos então:

∫ u ⋅ d u u 2 3 / 2 = ∫ d u u 2 = - u - 1

Então:

∫ x x 2 + a 2 3 / 2 d x = - 1 x 2 + a 2

Passo 3

Substituindo de volta na nossa expressão do potencial:

V = - Q 4 π ϵ o - 1 x ' 2 + a 2 ∞ x

V = Q 4 π ϵ o 1 x 2 + a 2

Nossa resultado é compatível com a expressão do enunciado.

Resposta

V = Q 4 π ϵ o 1 x 2 + a 2

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