Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 53
53. Continuação dos exercícios e . Qual é a quantidade de energia armazenada no campo magnético de um indutor para uma constante de tempo depois de a bateria ser desconectada ao indutor mencionado no exercício ? Calcule isso integrando a expressão do Exercício e usando a Equação ; compare os dois resultados. Integre a expressão obtida no Exercício para calcular a energia total fornecida pela bateria durante o intervalo de tempo considerado no item . Integre a expressão obtida no Exercício para determinar a energia total dissipada na resistência do indutor durante o mesmo intervalo de tempo. Compare os resultados obtidos nos itens e .
Passo 1
Vamos então as informações principais para resolver esse problema, tendo elas o resto é só ficar integrando expressões.
O enunciado diz que temos uma bateria a ser desconectada do indutor parecido com o caso do exercício , assim temos as seguintes informações:
Nesse mesmo caso temos que a corrente do circuito tem o comportamento descrito pela seguinte função:
Quando o enunciado fala uma constante de tempo depois ele está se referindo ao , assim para todas as partes do problema que envolver , tanto na hora de substituir valor quanto na hora de colocar os limites de integração teremos , é isso bem dizer porque o enunciado quer assim.
A equação mencionada no item é a seguinte:
Essas são as informações mais relevantes para resolver esse problema o resto é pegar resultados dos exercícios e .
Passo 2
Vamos então calcular a energia pedia no item utilizando a equação , temos:
Mas antes temos que saber qual usar e vamos achar utilizando a função para a corrente que mostrei no passo e colocando , assim:
Sabendo os valores de e , temos:
Então temos que a energia , para , nos dá o seguinte:
Passo 3
Agora vamos encontrar o que o item integrando a expressão do exercício , que é dada por:
Mas porque ele fala para integrar? A resposta dessa pergunta vem da seguinte relação:
Vamos escrever de uma forma mais agradável, já que conhecemos uma expressão , temos:
Sabendo que
Assim:
Agora vamos integrar essa expressão de até , assim:
Assim, ficamos com:
Sabendo que , temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então, temos que:
Passo 4
Agora vamos encontrar o que o item integrando a expressão do exercício , que é dada por:
Mas porque ele fala para integrar? A resposta dessa pergunta vem da seguinte relação:
Vamos escrever de uma forma mais agradável, já que conhecemos uma expressão , temos:
Assim:
Agora vamos integrar essa expressão de até , assim:
Assim, ficamos com:
Sabendo que , temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então, temos que:
Passo 5
Agora vamos encontrar o que o item integrando a expressão do exercício , que é dada por:
Mas porque ele fala para integrar? A resposta dessa pergunta vem da seguinte relação:
Vamos escrever de uma forma mais agradável, já que conhecemos uma expressão , temos:
Assim:
Agora vamos integrar essa expressão de até , assim:
Assim, ficamos com:
Sabendo que , temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então, temos que:
Passo 6
Uma coisa curiosa a se notar é que essas três energias que calculamos tem a seguinte relação:
Trazendo pro português claro temos que a energia fornecida pela bateria tem dois destinos, um é ser armazenada no campo elétrico e o outro é ser dissipada pela resistência do indutor.