Enunciado

Um anel condutor circular, com raio r 0 = 0.042 m , está sobre o plano x y em uma região onde existe um campo magnético uniforme B → = B 0 ⋅ 1 - 3 ⋅ t t 0 2 + 2 ⋅ t t 0 3   k , em que t 0 = 0.01 s e permanece constante, t é o tempo, k é um vetor unitário orientado no sentido + z e B 0 = 0.08 T e permanece constante. Nos pontos a e b (Figura 29.50), existe uma pequena abertura do anel, cujas extremidades são conectadas a fios que conduzem a corrente para um circuito externo com resistência R = 12 Ω . Não há nenhum campo magnético no local onde está o circuito externo.

a Deduza uma relação, em função do tempo, para o fluxo magnético total ϕ b através do anel.

b Calcule a fem induzida no anel para t = 5 ⋅ 10 - 3 s . Qual a polaridade da fem?

c Como o anel possui uma resistência interna, a corrente que flui através de R no instante calculado no item b é apenas 3.0 m A . Determine a resistência do anel.

d Calcule a fem induzida no anel para t = 1.2 ⋅ 10 - 2   s . Qual a polaridade da fem?

e Determine o instante em que a corrente que flui através de R inverte seu sentido.

Passo 1

Para resolver o nosso problema vamos aplicar a lei de Faraday para calcular a magnitude e a direção da fem induzida. Assim, tomemos que A → está saindo da página na figura isso significa que a fem em sentido anti-horário é positiva. Sendo assim, teremos

ϕ B = B A = B 0 ⋅ π ⋅ r 0 2 ⋅ 1 - 3 ⋅ t t 0 2 + 2 ⋅ t t 0 3

Passo 2

Continuando com a resolução do problema devemos lembrar que

ε = - d ϕ B d t = - B 0 ⋅ π ⋅ r 0 2 ⋅ d 1 - 3 ⋅ t t 0 2 + 2 ⋅ t t 0 3 d t

ε = - 6 B 0 π r 0 2 t 0 ⋅ t t 0 2 - t t 0

Utilizando t = 5 ⋅ 10 - 3 s vamos ter

ε = - 6 B 0 π ⋅ 0.042 2 0.01 ⋅ 5 ⋅ 10 - 3 0.01 2 - 5 ⋅ 10 - 3 0.01 ≈ 0.0665 V

Nesse caso, temos ε positive, logo, está no sentido anti-horário. Agora, que temos o valor de ε e nos foi fornecido o valor da corrente induzida podemos calcular R para o item c fazendo

I = ε R t o t → R t o t = ε I = 0.0665 3 ⋅ 10 - 3

Mas devemos reparar que R t o t = R + r = 12 + r , então, temos

r = 0.0665 3 ⋅ 10 - 3 - 12 = 10.2 Ω

Passo 3

Para calcularmos a fem em t = 1.21 ⋅ 10 - 2 s vamos proceder de forma igual ao que calculamos no passo 2. Assim, temos

ε = - 6 B 0 π ⋅ 0.042 2 0.01 ⋅ 1.21 ⋅ 10 - 2 0.01 2 - 1.21 ⋅ 10 - 2 0.01 ≈ - 0.0676 V

Por fim, para concluirmos o exercício percebamos que quando ε = 0 , então,

0 = t t 0 2 - t t 0 → t t 0 = 1 → t = t 0 = 0.01 s

Pronto, finalmente resolvemos o exercício por completo.

Resposta

a   ϕ B = B 0 ⋅ π ⋅ r 0 2 ⋅ 1 - 3 ⋅ t t 0 2 + 2 ⋅ t t 0 3

b   ε = 0.665 V ,   a n t i - h o r á r i o

c   r = 10.2 Ω

d   ε = - 0.0676   V ,   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   b   p a r a   a   p a s s a n d o   p e l o   r e s i s t o r

e   t = 0.01 s

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