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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 30.1 - Ex. 29

APUCACAO EM ENGENHARIA

Um pequeno avido particular se aproxima de um aeroporto voando a uma altitude de 2,50 km acima do nivel do mar.Como controlador de voo no aeroporto,você sabe que seu sistema utiliza uma antena de dipolo eletrico vertical para transmitir 100 W a 24,0 MHz.Qual e a intensidade do sinal na antena receptora no avido quando ele esta a 4,00 km do aeroporto? Considere que o aeroporto esteja no nivel do mar.

Passo 1

A intensidade da radiação da antena de dipolo vertical do aeroporto é dada por C ( s i n 2 θ ) / r 2 , onde C é uma constante cujas unidades são aquelas de potência, r é a distância do dipolo até o ponto de interesse e θ   é o ângulo entre o momento de dipolo elétrico e o vetor posição r → . Podemos integrar a intensidade para expressar a potência total irradiada pela antena e usar este resultado para avaliar C. Conhecendo C, podemos encontrar a intensidade do sinal na altitude do avião e da distância do aeroporto.

Expresse a intensidade do sinal como uma função de r e θ :

I ( r , θ ) = C sin 2 ⁡ θ r 2

Passo 2

Da definição de intensidade nós temos:

d P = I d A

E

P tot  = ∬ I ( r , θ ) d A

onde, em coordenadas polares:

d A = r 2 s i n ⁡ θ d θ d ϕ P tot  = ∬ 0 2 π π   I ( r , θ ) r 2 s i n ⁡ θ d θ d ϕ P tot  = C ∬ 0 2 π   ∫ 0 2 π π   s i n 3 ⁡ θ d θ d ϕ

∫ 0 π   sin 3 ⁡ θ d θ = - 1 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 2 0 r = 4 3 P tot  = 4 3 C ∫ 0 2 π   d ϕ = 4 3 C [ ϕ ] 0 2 π = 8 π 3 C C = 3 8 π P tot 

Passo 3

Substituindo por C na equação, temos:

I ( r , θ ) = 3 P tot  8 π sin 2 ⁡ θ r 2

Na elevação do avião:

θ = t a n - 1 ⁡ 4000 m 2500 m = 58.0 ∘

E

r = ( 2500 m ) 2 + ( 4000 m ) 2 = 4717 m

Substitua valores numéricos e avalie I ( 4717 m ,   58 º ) :

I 4717 m , 58.0 ∘ = 3 100 W 8 π sin 2 ⁡ 58.0 ∘ ( 4717 m ) 2 = 386 n W / m 2

Resposta

386 n W / m 2

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