Enunciado

Um arco-íris secundário se forma quando a luz incidente sofre duas reflexões no interior de uma gota de água, como indicado na Figura 33.20e. (Veja o Problema desafiador 33.66.) a) Em relação ao ângulo de incidência θ a A , e ao indice de refração   n da gota, qual é a deflexão angular Δ   do raio? Ou seja, qual é o ângulo entre o raio antes de ele entrar na gota e depois que ele sai da gota? b) Qual é o ângulo de incidência θ 2 , para o qual a derivada de Δ em relação ao ângulo θ a A ,é igual a zero? c) Os índices de refração para a luz vermelha e para a luz violeta são fornecidos no item (e) do Problema Desafiador 33.66. Use os resultados dos itens (a) e (b) para calcular θ 2 , e Δ para a luz vermelha e para a luz violeta. Seus resultados concordam com os ångulos indicados na Figura 33.20e? Quando você vê um arco-íris secundário, qual cor está mais afastada do horizonte: a vermelha ou a violeta? Explique.

Passo 1

a)

Aqui temos que somar as deflexões a cada etapa.

O arco íris duplo ocorre quando temos 2 refrações internas e duas reflexões internas. Então:

Δ = δ A + δ B + δ C + δ D

δ A = θ a A - θ b A

δ B = π - θ a B - θ r B

Além disso:

θ a B = θ r B = θ b A

Essa ultima igualdade vem do exercício 33.66.

δ B = π - 2 θ b A

δ C = π - θ a B - θ r B

δ C = π - 2 θ b A

δ D = θ a C - θ b C

Pelo exercício 33.66, temos também:

θ a C = θ a A

θ b C = θ b A

Então

δ D = θ a A - θ b A

Com isso:

Δ = δ A + δ B + δ C + δ D

Δ = θ a A - θ b A + π - 2 θ b A + π - 2 θ b A + θ a A - θ b A

Δ = 2 θ a A - 6 θ b A + 2 π

Para deixar a resposta em termos de n e θ a A , vamos usar a lei de snell:

n a r sen ⁡ θ a A = n sen ⁡ θ b A

sen ⁡ θ a A = n sen ⁡ θ b A

θ b A = a r c s e n 1 n sen ⁡ θ a A

Com isso:

Δ = 2 θ a A - 6 θ b A + 2 π

Δ = 2 θ a A - 6   a r c s e n 1 n sen ⁡ θ a A + 2 π

Passo 2

b)

Fizemos uma conta parecida no exericicio 33.66.

d Δ θ a A = d 2 θ a A - 6   a r c s e n 1 n sen ⁡ θ a A + 2 π d θ a A

2 - 6 ⋅ cos ⁡ θ a A n 1 - sen 2 ⁡ θ a A n 2 - 1 2 = 0

O θ a A para o qual isso ocorre é chamado de θ 2

2 - 6 ⋅ cos ⁡ θ 2 n 1 - sen 2 ⁡ θ 2 n 2 - 1 2 = 0

2 n 2 - sen 2 ⁡ θ 2 1 2 = 6 ⋅ cos ⁡ θ 2

n 2 - sen 2 ⁡ θ 2 1 2 = 3 ⋅ cos ⁡ θ 2

n 2 - 1 + cos 2 ⁡ θ 2 = 9 ⋅ cos 2 ⁡ θ 2

n 2 - 1 = 8 ⋅ cos 2 ⁡ θ 2

cos 2 ⁡ θ 2 = n 2 - 1 8

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Passo 3

C)

Para o violeta.

Pelo item anterior:

cos 2 ⁡ θ 2 = n 2 - 1 8

θ 2 = arccos ⁡ n 2 - 1 8

θ 2 = arccos ⁡ 1,342 - 1 8

θ 2 = 71,55 °

E, pelo ítem a:

Δ = 2 θ a A - 6   a r c s e n 1 n sen ⁡ θ a A + 2 π

Δ = 2 ⋅ 71,55 ° - 6   a r c s e n 1 1,342 sen ⁡ 71,55 ° + 2 π

Δ = 233,2 °

Pela figura, temos θ v i o = 53,2 ° .

Para o vermelho:

θ 2 = arccos ⁡ 1,330 - 1 8

θ 2 = 71,94 °

e

Δ = 2 ⋅ 71,94 ° - 6   a r c s e n 1 1,330 sen ⁡ 71,94 ° + 2 π

Δ = 230,1 °

Pela figura, temos θ v e r m = 50,1 ° .

Os ângulos que calculamos concordam com os da figura 37.20. Como o ângulo do violeta é maior que o do vermelho, o violeta aparece mais acima no horizonte. Comparando essa ordem com a ordem de um arco íris primário, percebemos que a ordem é inversa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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