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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas Desafiadores - Ex. 91

A área escura na Figura 18.30, aparentemente desprovida de estreas, denomina-se nebulosa escura, uma nuvem de gás frio no espaço interestelar que contém matéria suficiente para bloquear a luz proveniente de estrelas que estão atrás dessa região. Uma nebulosa escura típica possui um diâmetro de ordem de 20 anos-luz e contém cerca de 50 átomos de hidrogênio por centímetro cubico (hidrogênio monoatômico e não H 2 ) a uma temperatura aproximadamente igual a 20 K. Um ano-luz é a distancia percorrifa pela luz em um ano, sendo igual a 9,46 × 10 5 m .) a) Estime o livre caminho médio de um átomo de hidrogênio em uma nebulosa escura. O raio de um átomo de hidrogênio é da ordem de 5,0 × 10 - 11 m . b) Estime a velocidade quadrática média de um átomo de hidrogênio e o tempo livre médio (o tempo médio entre duas colisões sucessivas de um dado átomo). Com base nesse resultado, você acha que as colisões atômicas, tais como aqueas que dão origem à formação da molécuça H 2 , são muito importantes para a determinação da composição da nebulosa? c) Estime a pressão no interior de uma nebulosa escula. d) Compare a velocidade quadrática média de um átomo de hidrogênio com velocidade de escape da superfície da nebulosa (supondo que ela seja esférica). Se houvesse vácuo em torno da nebulosa, ela seria estável ou teria tendência a se vaporizar? e) A estabilidade de uma nebulosa escura é explicada pela presença de um meio interestelar (ISM), um gás rarefeito que permeia o espaço interestelar no qual a nebulosa escura está imersa. Mostre que uma nebulosa escura está em equilíbrio com o ISM quando o número de átomos por volume ( N / V ) e a temperatura ( T ) da nebulosa escura estão relacionados com os respectivos valores referentes ao ISM através da equação

( N / V ) n e b u l o s a N / V I S M = T I S M T n e b u l o s a

f) Nas vizinhanças do Sol, o ISM contém cerca de 1 átomo de hidrogênio por 200   c m 3 . Estime a temperatura do ISM nas vizinhanças do Sol. Compare o resultado com a temperatura na superfície do Sol, igual a aproximadamente 5800 K. Uma espaçonave viajando através do meio interestelar poderia se quimar? Justifique sua resposta.

Passo 1

E aí galera! Bom, aqui temos um textão no enunciado, o que parece complicar muito as coisas, mas vamos lá, relembrando as equações e fazendo passo a passo, você vai notar que é só questão de jeitinho.

A equação

λ = v t m é d = V 4 π 2 r 2 N

fornece o livre caminho médio λ .

Na equação

t m é d = V 4 π 2 r 2 v N

usaremos:

v = 3 R T M

Além do mais, precisamos saber a equação do gás ideal

p V = n R T = N k T

E que a velocidade de escape é dada por:

v e s c a p e = 2 G M R

Para hidrogênio atômico: M = 1,008 × 10 - 3   k g / m o l .

Passo 2

  1. Assim, da equação λ = v t m é d = V 4 π 2 r 2 N

    2. λ = 4 π 2 r 2 N V - 1 = 4 π 2 5,0 × 10 - 11 m 2 50 × 10 6 m - 3 - 1 = 4,5 × 10 11 m  

    Passo 3

  2. Então, vamos estimar a velocidade quadrática média de um átomo de hidrogênio e o tempo livre médio:

    3. v = 3 R T M = 3 ( 8,3145 J / m o l ⋅ K ( 20   K ) 1,008 × 10 - 3   k g / m o l = 703   m / s

    E o tempo entre as colisões é então:

    4,5 × 10 11 703 m / s = 6,4 × 10 8 s

    Cerca de 20 anos.

    Passo 4

  3. Calculando a pressão no interior de uma nebulosa, temos que:

    4. p = N V k T = 50 1,0 × 10 - 6 m 3 ⋅ 1,381 × 10 - 23 J / K ⋅ 20 K = 1,4 × 10 - 14   P a  

    Passo 5

  4. E a velocidade de escape:

    5. v e s c a p e = 2 G M R = 2 G ( N m / V ) ( 4 π R 3 / 3 ) R = 8 π 3 G N V m R 2

    Isso implica que:

    V e s c a p e = 8 π 3 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 50 × 10 6 m - 3 1,67 × 10 - 27 k g 10 × 9,46 × 10 15 m 2

    v e s c a p e = 650   m / s

    Isso é menor que v e a nuvem tende a evaporar.

    Passo 6

  5. Em equilíbrio (claramente não em equilíbrio térmico), as pressões serão as mesmas; a partir de p V = N k T ,

    6. k T I S M N V I S M = k T n e b u l o s a N V n e b u l o s a

    E o resultado segue.

    Passo 7

  6. Com o resultado da parte (e),

T I S M = T n e b u l o s a V / N n e b u l o s a V / N I S M   = 20 K 50 × 10 6 m 3 200 × 10 - 6 m 3 - 1 = 2 × 10 5   K

mais de três vezes a temperatura do sol. Isso indica uma energia cinética média alta, mas a magreza de o ISM significa que uma aeronave não queimaria.

Resposta

  1. 4,5 × 10 11 m
  2. 703   m / s e 6,4 × 10 8 s
  3. 1,4 × 10 - 14   P a
  4. 650   m / s
  5. T I S M N V I S M = k T n e b u l o s a N V n e b u l o s a
  6. 2 × 10 5   K
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