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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 12

Uma barra metálica retilínea de secção homogênea é formada de três segmentos de materiais diferentes, de comprimentos l 1 , l 2 e l 3 , e condutividades térmicas k 1 , k 2 e k 3 , respectivamente. Qual é a condutividade térmica k da barra como um todo (ou seja, de uma barra equivalente de um único material e comprimento l 1 + l 2 + l 3 )?

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho da situação:

E vamos lembrar da fórmula para a taxa de transferência de calor:

Φ = k A Δ T L

Onde k é a condutividade térmica do material, A é a área das superfícies de contato, Δ T é a diferença de temperatura entre elas e L é a distância entre elas.

Passo 2

A taxa de transferência de calor deve ser igual em todas as superfícies de contato:

Φ = Φ 12 = Φ 23 = Φ 34

Φ = A k 1 l 1 T 2 - T 1 = A k 2 l 2 T 3 - T 2 = A k 3 l 3 T 4 - T 3

E como podemos escrever a taxa de transferência de calor da barra inteira? O valor deve ser o mesmo Φ de cada parte, então:

Φ = A k l 1 + l 2 + l 3 T 4 - T 1

E nosso objetivo é calcular k .

Passo 3

Vamos isolar as temperaturas nas equações para cada parte:

T 2 - T 1 = l 1 A   k 1 Φ

T 3 - T 2 = l 2 A   k 2 Φ

T 4 - T 3 = l 3 A   k 3 Φ

Agora podemos somar as três:

T 4 - T 3 + T 3 - T 2 + T 2 - T 1 = Φ A l 1 k 1 + l 2 k 2 + l 3 k 3

T 4 - T 1 = Φ A l 1 k 1 + l 2 k 2 + l 3 k 3

E podemos substituir essa expressão para T 4 - T 1 na fórmula que escrevemos para a barra inteira:

Φ = A k l 1 + l 2 + l 3 T 4 - T 1

Φ = A k l 1 + l 2 + l 3   Φ A l 1 k 1 + l 2 k 2 + l 3 k 3

Agora só precisamos isolar k . Começamos cortando A e Φ :

1 = k l 1 + l 2 + l 3   l 1 k 1 + l 2 k 2 + l 3 k 3

E então:

k = l 1 + l 2 + l 3 l 1 k 1 + l 2 k 2 + l 3 k 3

Resposta

A condutividade térmica equivalente é k = l 1 + l 2 + l 3 l 1 k 1 + l 2 k 2 + l 3 k 3 .

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