126. Uma das extremidades de um cilindro de cobre sólido com 0,200   m de comprimento é mantida a 20   K . A outra extremidade é pintada de preto e exposta a uma radiação térmica proveniente de paredes vizinhas a 500   K . A superfície lateral da barra está isolada, de modo que a energia só pode entrar ou sair através das extremidades da barra. Ao ser atingido o equilíbrio, qual é a temperatura da extremidade negra? (Sugestão: Como o cobre é um excelente condutor de calor em baixas temperaturas, sendo k = 1670   W / m ⋅ K a 20   K , a temperatura da extremidade negra é ligeiramente maior do que 20   K .)

Passo 1

Primeiro, temos que notar o seguinte, quando a barra atinge o equilíbrio, temos que as extremidades estão transferindo a mesma quantidade de calor.

Para a extremidade mantida a 20   K a transferência é dada por:

H = k A L ( T 2 - T 1 )

Onde T 1 é a temperatura da parte a 20   K e T 2 é a temperatura na parte que recebe radiação.

Para a extremidade exposta a radiação temos a transferência de calor é dada por:

H = A e σ ( T S 4 - T 2 4 )

Onde T S é a temperatura fornecida pela radiação de 500   K

Então, igualando as duas equações temos:

A e σ T S 4 - T 2 4 = k A L ( T 2 - T 1 )

⇒ e σ T S 4 - T 2 4 = k L ( T 2 - T 1 )

Isolando T 2 .

T 2 + e σ L k T 2 4 = T 1 + e σ L k T S 4

Nessa equação não dá para isolar T 2 , por isso vamos seguir a sugestão do enunciado e aproximar o termo T 2 4 para T 1 4 , assim:

T 2 + e σ L k T 1 4 = T 1 + e σ L k T S 4

⇒ T 2 = T 1 + e σ L k T S 4 - T 1 4

Lembrando que para o caso de um corpo preto, temos:

e = 1

E temos que:

σ = 5,67 * 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4

E para o cobre, segundo o enunciado, temos:

k = 1670   W / m ⋅ K

Passo 2

Agora, vamos achar T 2 , só basta substituir os valores que temos na fórmula que chegamos no passo 1 , vamos lá então galera.

T 2 = T 1 + e σ L k T S 4 - T 1 4

⇒ T 2 = 20 + 5,67 * 10 - 8 0,2 1670 500 4 - 20 4

= 20 + 1,134 * 10 - 8 1670 6,25 * 10 10 - 1,6 * 10 5

= 20 + 0,42

Então temos que:

T 2 = 20,42   K

Resposta

T 2 = 20,42   K

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