Uma barra de secção transversal constante de 1   c m 2 de área tem 15   c m de comprimento, dos quais 5   c m de alumínio e 10   c m de cobre. A extremidade de alumínio está em contato com um reservatório térmico a 100 ° C , e a de cobre com outro a 0 ° C . A condutividade térmica do alumínio é de 0,48 c a l s ∙ c m ∙ ° C e a do cobre é de 0,92 c a l s ∙ c m ∙ ° C . (a) Qual é a temperatura da barra na junção entre o alumínio e o cobre? (b) Se o reservatório térmico a 0 ° C é uma mistura de água com gelo fundente, qual é a massa de gelo que se derrete por hora? O calor latente de fusão do gelo é 80   c a l / g .

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho da situação:

Vamos lembrar da fórmula para a taxa de transferência de calor:

Φ = k A Δ T L

Onde k é a condutividade térmica do material, A é a área das superfícies de contato, Δ T é a diferença de temperatura entre elas e L é a distância entre elas.

Passo 2

(a) Nosso primeiro objetivo é encontrar a temperatura T na junção entre cobre e alumínio, marcado com o plano azul na figura:

Para resolver isso, vamos igualar as taxas de transmissão de calor nas duas porções:

Φ A l u m í n i o = Φ C o b r e

k A l × A × Δ T A l L A l = k C o × A × Δ T C o L C o

A área da superfície de contato é a mesma para os dois casos, então podemos cortar:

k A l × Δ T A l L A l = k C o × Δ T C o L C o

Agora vamos substituir com os valores numéricos que foram dados:

0,48 × 100 - T 5 = 0,92 × T - 0 10

0,096 100 - T = 0,092 T

E então:

0,092 + 0,096 T = 100 0,096

T ≈ 51 ° C

Passo 3

(b) Agora vamos imaginar o seguinte: se o reservatório de 0 ° C fosse feito de gelo, qual seria a massa derretida em um intervalo de uma hora.

Começamos calculando a taxa de transferência de calor naquela extremidade:

Φ = k C o b × A × Δ T C o b L C o b

Temos que tomar muito cuidado com as unidades:

Φ = 0,92   c a l s ∙ c m ∙ ° C × 1   c m 2 × 51 - 0 ° C 10   c m

Φ = 4,69 c a l s

Passo 4

E então, como uma hora tem 3600   s , a energia total transferida para o reservatório seria:

E = Φ Δ t

E = 4,69 3600 = 16   884   c a l

Agora vamos calcular a massa de gelo que pode ser derretida com essa energia. Sabendo que o calor latente de fusão do gelo é L = 80   c a l / g :

Q = m L

16   884 = m   80

m = 211   g

Resposta

(a) A temperatura na junção é T = 51 ° C .

(b) A massa de gelo derretida ao longo de uma hora é m = 211   g .

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