Generalize o resultado de Problema 13 ao caso da conduçõa do calor através de uma camada de material de condutividade térmica entre dois cilindros concêntricos de raios e e de comprimento , de modo que se possam desprezar os efeitos das extremidades. (a) Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de tempo através da camada. (b) Aplique o resutlado a uma garrafa térmica cilíndrica, com , e , com uma camada de ar entre as paredes interna e externa. A condutividade térmica do ar é de . A garafa contém café inicialmente a e a temperatura externa é de . Quanto tempo demora para que o café esfrie até a temperatura ambiente?

Começamos separando as variáveis:

E agora vamos integrar quando varia de até e varia de até :

Agora é só resolver as integrais:

E simplificando um pouco:

(b) Agora vamos calcular a taxa de transferência de calor no caso descrito no enunciado. Só precisamos substituir os valores numéricos, tomando muito cuidado com as unidades:

E então a energia perdida pela garrafa térmica durante um intervalo de tempo é:

E para calcular a variação de temperatura do café após perder todo esse calor, primeiro precisamos calcular a sua massa e calor específico.

O café que armazenamos em garrafas térmicas é quase totalmente composto de água, então podemos usar:

E se o café está em um cilindro de de raio e de altura, o volume total é:

E então a massa total é:

Agora sim, podemos calcular a variação de temperatura:

Queremos uma variação de temperatura de para :

Em horas, isso corresponde a:

Ou: