Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 50
Uma bolinha de massa de modelar, de massa , cai do teto sobre a borda de uma plataforma giratória de raio e momento de inércia que gira livremente com uma rapidez angular em torno do seu eixo de simetria fixo e vertical. (a) Após a colisão, qual é a rapidez angular do sistema plataforma-bolinha? (b) Após várias voltas, a bolinha se solta da borda da plataforma, qual é, agora, a rapidez angular da plataforma?
Passo 1
Obs: Antes de começar, corrigimos no enunciado o símbolo da rapidez angular. Ele dá como , mas esse é o símbolo da posição angular inicial. O símbolo da rapidez angular inicial deve ser . Vamos usar esse ultimo símbolo, ok?
(a) Vamos considerar um sistema formado pela plataforma e pela bolinha. Não existe nenhum torque externo agindo sobre esse sistema, então o momento angular deve se conservar.
Inicialmente, apenas a plataforma giratória tinha algum momento angular, então o momento angular inicial pode ser dado por
Após a “colisão”, podemos tratar a bolinha e a plataforma como um único corpo de momento de inércia e rapidez angular :
E aplicando a conservação de momento:
Passo 2
Agora vamos procurar uma expressão para o novo momento de inércia da plataforma. Bastante adicionar, ao momento de inércia da plataforma giratória somente , o momento da bolinha de massa presa a uma distância do eixo de simetria.
A gente pode imaginar que essa bolinha é uma partícula de massa distante do eixo de rotação, logo
E o momento de inércia do conjunto é
E então:
Passo 3
(b) Queremos a rapidez angular da plataforma depois que a bolinha descola da sua superfície. Vamos usar conservação de momento angular novamente.
No item anterior a gente interpretou a plataforma e a bolinha como um conjunto quando elas estavam coladas. Aqui a gente pode interpretar como dois corpos, mas que possuem a mesma velocidade angular , a que a gente achou no item a). Então inicialmente temos
O que muda no momento angular da bolinha se ela sai voando em uma direção tangente à plataforma giratória? Absolutamente nada! Olha a expressão do momento angular
Ao ser arremessada tangencialmente (por inércia) a bolinha mantém a mesma velocidade que tinha antes, logo o momento permanece igual, porque ele leva em conta a velocidade da bolinha e a massa dela. Duas coisas que não vão mudar.
Além disso, para o momento angular, contamos a distância perpendicular entre o eixo de referência e a direção do vetor , e essa distância não muda quando a bolinha sai em linha reta, continua sendo .
Como não temos nenhum torque externo resultante agindo sobre o sistema, podemos escrever a seguinte relação para o momento antes e depois da bolinha ser arremessada:
Já vimos que o momento angular da bolinha não muda, então , então:
E como o momento de inércia da plataforma também não muda, porque ele só depende da geometria da plataforma, ele vai sempre valer . Podemos substituir :
Já sabemos quando vale do item anterior:
Resposta
(a) .
(b) A rapidez angular continua igual: .