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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 47

Um projétil (massa M ) é lançado a um ângulo θ , com uma rapidez inicial v 0 . Considerando o torque e momento angular em relação ao ponto de lançamento, mostre explicitamente que d L / d t = τ . Ignore a resistência do ar. (As equaçãoes para o movimento de projétil podem ser encontradas no capítulo 3 ).

Passo 1

Nós podemos consultar o capítulo 3 para encontrar as equações para cada coordenada no movimento de um projétil:

x t = v 0 cos ⁡ θ   t

y t = v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2

De forma que o vetor posição r → da partícula a qualquer momento é:

r → = x t i ^ + y t j ^

r → = v 0 cos ⁡ θ   t i ^ + v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2 j ^

E podemos fazer a mesma coisa para as componentes da velocidade:

v x t = v 0 cos ⁡ θ

v y t = v 0 sen ⁡ θ - g t

v → = v 0 cos ⁡ θ i ^ + v 0 sen ⁡ θ - g t j ^

Passo 2

Agora vamos lembrar da definição do torque:

τ → = r → × F →

Nesse caso a única força agindo sobre o sistema é a força peso:

F → = - m g j ^

τ → = v 0 cos ⁡ θ   t i ^ + v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2 j ^ × - m g j ^

Vamos resolver esse produto vetorial através de um determinante:

τ → = i ^ j ^ k ^ v 0 cos ⁡ θ   t v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2 0 0 - m g 0

E todas as componentes vão se anular, exceto uma:

τ → = - m g v 0 t cos ⁡ θ k ^

Passo 3

Ok, agora vamos encontrar o momento angular também pela definição:

L → = r → × p →

L → = r → × m v →

Novamente vamos usar um determinante para calcular esse produto vetorial:

L → = i ^ j ^ k ^ v 0 cos ⁡ θ   t v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2 0 m v 0 cos ⁡ θ m v 0 sen ⁡ θ - g t 0

L → = - m v 0 g cos ⁡ θ t 2 + 1 2 m g v 0 cos ⁡ θ t 2 k ^

L → = - 1 2 m g v 0 cos ⁡ θ t 2 k ^

E nosso objetivo é verificar que d L → / d t = τ , então vamos derivar L → em relação ao tempo:

d L → d t = d d t - 1 2 m g v 0 cos ⁡ θ t 2 k ^

d L → d t = - m g v o cos ⁡ θ t k ^

Que é exatamente a expressão que tínhamos encontrado antes para o torque.

Resposta

Demonstramos que d L → / d t = τ → = - m g v o cos ⁡ θ t k ^ .

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