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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 34

Uma caixa possui dois compartimentos separados por uma divisória. O lado esquerdo da caixa contém 500 moléculas do gas nitrogênio; o lado direito contém 100 moléculas do gas oxigênio. Os dois gases estão à mesma temperatura. A divisória e perfurada, e o equilíbrio é atingido. Suponha que o volume da caixa seja suficientemente grande para que cada gas sofra uma expansão livre mantendo sua temperatura constante. a) Em média, quantas moléculas de cada gas estarão em cada metade da caixa? b) Qual é a variação de entropia do sistema depois que a divisória foi perfurada? c) Qual seria a probabilidade de encontrar as moléculas com a mesma distribuição existente antes de a divisória ser perfurada, ou seja, 500 moléculas de nitrogênio do lado esquerdo e 100 moléculas de oxigênio do lado direito?

Passo 1

Depois que a caixa é furada, a média de probabilidade é metade das moléculas de cada gás estar ocupando cada lado do volume total, ou seja, 50 moléculas de gás oxigênio e 250 moléculas de gás nitrogênio.

Passo 2

b) Como antes cada molécula possui w 1 microestados possíveis, elas passarão a possuir o dobro de estados depois do furo, e o número de estados microscópicos cresce em 2 N , sendo N o número de moléculas. A variação de entropia então é:

∆ S = k ln ⁡ w 2 w 1

w 2 = 2 N w 1

∆ S = k ln ⁡ 2 N w 1 w 1

∆ S = N k ln ⁡ 2

Como tem dois gases diferentes, a variação de entropia total é a soma da variação de entropia de cada expansão livre:

∆ S t o t a l = N 1 k ln ⁡ 2 + N 2 k ln ⁡ 2 = ( N 1 + N 2 ) k ln ⁡ 2

Substituindo os valores:

∆ S t o t a l = 600 1,381 × 10 - 23   J / K ln ⁡ 2

∆ S t o t a l = 5,74 × 10 - 21   J / K

Passo 3

c) A probabilidade de cada molécula ser encontrada do lado certo da caixa é de 1 / 2 , para o caso de 500 de um lado e 100   da outra fazemos:

1 2 500 × 1 2 100 = 1 2 600 = 2,4 × 10 - 181

Resposta

b   ∆ S t o t a l = 5,74 × 10 - 21   J / K

c   2,4 × 10 - 181

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