71. Um caixote de 10   k g desce deslizando 4,0   m pela rampa sem atrito da FIGURA PD10.71, e, depois, colide com uma mola cuja constante elástica vale 250   N / m .

a . Qual é a máxima compressão da mola?

b . Para que valor de compressão da mola o caixote atinge a rapidez máxima?

Passo 1

Então galera para esse problema vamos usar a conservação de energia ao nosso favor.

Mas para facilitar nossas contas vamos para o item ( a ) colocar a origem do sistema de coordenadas no ponto de compressão máxima.

Com isso temos que y f = 0 , y i = 4 + Δ s f sen ⁡ 30 ° e Δ s i = 0

Para o item ( b ) vamos colocar a origem do nosso sistema de coordenadas no início da mola, quando a mola está relaxada.

Assim temos que y f = - Δ s f sen ⁡ 30 ° , y i = 4 sen ⁡ 30 ° e Δ s i = 0 .

Passo 2

Então vamos começar com o item ( a ) , vamos começar a conservar essa energia, temos:

K i + U i = K f + U f

1 2 m v i 2 + 1 2 k Δ s i 2 + m g y i = 1 2 m v f 2 + 1 2 k Δ s f 2 + m g y f

Usando as informações que temos, ficamos com:

1 2 m 0 2 + 1 2 k 0 2 + m g ( 4 + Δ s f sen ⁡ 30 ° ) = 1 2 m 0 2 + 1 2 k Δ s f 2 + m g ( 0 )

⇒ 1 2 k Δ s f 2 = m g 4 + Δ s f sen ⁡ 30 °

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

1 2 ( 250 ) Δ s f 2 = ( 10 ) ( 9,8 ) 4 + Δ s f sen ⁡ 30 °

⇒ 125 Δ s f 2 - 49 Δ s f - 196 = 0

Temos aqui uma equação de segundo grau e já estamos cansados de resolver esse tipo de equação, assim temos que:

Δ s f = 1,46   m

Ou

Δ s f = - 1,07   m

A segunda opção não tem sentido já é negativa, logo Δ s f = 1,46   m .

Passo 3

Então vamos com o item ( b ) , vamos começar a conservar essa energia, temos:

K i + U i = K f + U f

1 2 m v i 2 + 1 2 k Δ s i 2 + m g y i = 1 2 m v f 2 + 1 2 k Δ s f 2 + m g y f

Usando as informações que temos, ficamos com:

1 2 m 0 2 + 1 2 k 0 2 + m g ( 4 sen ⁡ 30 ° ) = 1 2 m v f 2 + 1 2 k Δ s f 2 + m g ( - Δ s f sen ⁡ 30 ° )

⇒ m g ( 4 sen ⁡ 30 ° ) = 1 2 m v f 2 + 1 2 k Δ s f 2 + m g ( - Δ s f sen ⁡ 30 ° )

Agora vamos dar um pulo do gato, vamos derivar essa expressão que encontramos por Δ s , assim temos:

k Δ s f - m g sen ⁡ 30 ° + m v d v d Δ s = 0

Como queremos que a velocidade seja um máximo, temos que:

d v d Δ s = 0

Assim temos que:

k Δ s f - m g sen ⁡ 30 ° = 0

⇒ k Δ s f = m g sen ⁡ 30 °

Substituindo os valores que sabemos, temos:

( 250 ) Δ s f = ( 10 ) ( 9,8 ) sen ⁡ 30 °

⇒ Δ s f = 0,196   m

Resposta

( a )

Δ s f = 1,46   m

( b )

Δ s f = 0,196   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados