56. Uma bola de 20   g é disparada horizontalmente, com velocidade v 0 , contra uma bola de 100   g que se encontra em repouso, suspensa por um barbante com 1,0   m de comprimento. As bolas sofrem uma colisão frontal perfeitamente elástica, após a qual a bola de 100   g oscila até um ângulo máximo θ m = 50 ° . Quanto vale v 0 ?

Passo 1

Nosso passo inicial é fazer uma figura do nosso problema que tornará muito mais fácil o seu entendimento.

Para simplificar a resolução do problema vamos colocar a origem do sistema quando a bola M está pendurada imóvel

Como podemos ver na figura esse problema pode ser dividido em duas partes. Primeiro, temos uma colisão elástica entre a bola de m e a de M . Segundo, a bola M começa a oscilar como um pêndulo.

Para resolver o problema iremos fazer uso da conservação de energia e da conservação de momento já que ocorre a colisão perfeitamente elástica.

Então, vamos começar.

Passo 2

A primeira parte do problema vamos fazer da seguinte forma:

Quando o livro fala de colisão elástica nesse capítulo 10 ele faz a junção da conservação de energia e de momento em uma colisão perfeitamente elástica com uma bola 2 inicialmente parada que resulta nas equações 10.43 . Nossa colisão é perfeitamente elástica então podemos utilizá-la de modo que temos:

v 1 M = 2 m m m m + m M v 0 m

Substituindo o que temos:

v 1 M = 2 ( 0,02   k g ) 0,02   k g + 0,1   k g v 0 m = 0,33 v 0 m

Passo 3

Agora, nessa segunda parte do problema, precisamos pensar bastante na conservação de energia pois a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética é conservada a medida que a bola de M inicia seu movimento após a colisão, ou seja:

K 1 + U g 1 = K 2 + U g 2 →     1 2 m M v 1 M 2 + m M g y 1 =   1 2 m M v 2 M 2 + m M g y 2

Quando a bola M atinge sua altura máxima ela para e faz o retorno então nesse instante v 2 M = 0   m / s . Nós temos o comprimento do barbante então a altura que M alcançará será dada por y 2 = L - L cos ⁡ θ = L ( 1 - cos ⁡ θ ) .

Substituindo essas e outras informações que temos na equação da conservação de energia temos:

    1 2 0,1   k g 0,33 v 0 m 2 + 0   J =   0   J + ( 0,1   k g ) ( 9,8   m / s ² ) ( 1   m ) ( 1   - cos ⁡ 50 ° )

Ou seja:

v 0 m = 0,98   N 5,5 ⋅ 10 - 3   k g ( 1   m ) ( 1   - cos ⁡ 50 ° ) = 178,2   m 2 / s ² 0,35 = 7,9   m / s

E é esse o resultado do nosso exercício.

Resposta

v 0 m = 7,9   m / s

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