Enunciado

Calcule a frequência para a qual a oscilação de voltagem no capacitor de um circuito LRC forçado tem a mesma amplitude da oscilação do gerador.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse exercício vamos brincar um pouco com impedâncias e circuito RLC. Na equação 26.74, foi encontrado que a corrente é dada por

I t = ω E 0 L D   s e n   ϕ - ω t

Como queremos a voltagem no capacitor, primeiro vamos procurar a carga fazendo a integral da corrente:

q t = ∫ I t   d t = ω E 0 L D ∫ s e n   ϕ - ω t   d t

Com isso, achamos

q t = E 0 L D cos ⁡ ϕ - ω t

A tensão no capacitor é

V t = q t C = E 0 L C D cos ⁡ ϕ - ω t

A tensão no gerador é

E t = E 0 cos ⁡ ω t

Passo 2

Para que as duas tensões tenham a mesma amplitude, igualamos:

E 0 L C D = E 0

Desta forma, achamos

L C D = 1

Elevando ao quadrado, temos que

D = 1 L C 2 = ω 0 4

Usando a expressão para D :

ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 = ω 0 4

Logo,

ω 0 4 - 2 ω 0 2 ω 2 + ω 4 + γ 2 ω 2 = ω 0 4

Portanto,

ω 2 ω 2 + γ 2 - 2 ω 0 2 = 0

Como ω ≠ 0 , devemos ter

ω 2 = 2 ω 0 2 - γ 2

Ou ainda,

ω = 2 ω 0 2 - γ 2

Resposta

ω = 2 ω 0 2 - γ 2

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