Calcule a indutância mútua entre uma espira circular de raio a e um fio retilíneo coplanar muito longo que transporta uma corrente I e está à distância b do centro da espira.

Passo 1

Se liga! Lembra que a indutância é

L = ϕ I

Vamos começar fazendo o fluxo que o fio causa na espira.

Primeiro precisamos lembrar que o campo do fluxo magnético é dado por

ϕ = ∫ B →     .   d   S →

e que o campo relacionado ao fio é

B = μ 0 I 2 π r   .

Olha a figura!

Podemos reparar que a distância r , pode ser escrito como

r = b - ρ c o s θ     .

A área dependerá de ρ e do ângulo θ ,

S = ρ   d ρ   d θ   ,

onde 0 ≤ ρ ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Agora só precisamos calcular o fluxo resolvendo a integral a seguir.

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a μ 0 I ρ d ρ d θ 2 π ( b - ρ c o s θ )

Resolvendo essa integral, vamos obter

ϕ = μ 0 I b - b 2 - a 2 = μ 0 I b 1 - 1 - a 2 b 2

Passo 3

Substituindo as informações na expressão da indutância, temos

L = μ 0 b 1 - 1 - a 2 b 2

Resposta

L = μ 0 b 1 - 1 - a 2 b 2

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