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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 5

Calcule o momento de inércia de um cone circular reto homogêneo, de massa M e raio da base R , em relação ao eixo do cone. Sugestão considere o cone como uma pilha de discos cirulares de alturas infinitésimas e raios decrescentes.

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma ilustração pra facilitar a nossa vida, se liga só:

Pela dica do enunciado vamos pegar discos circulares de altura infinitesimal. Para um disco, temos:

I d i s c o = M r 2 2

Logo,

I = ∫ x 2 d m 2

Usando a densidade volumétrica:

d m = ρ d V

Além disso,

d V = π x 2 d y   ;   ρ = M 1 3 π R 2 H

Portanto,

d m = M 1 3 π R 2 H ⋅ π x 2 d y = 3 M R 2 H x 2 d y

Passo 2

Da semelhança de triângulo, tem-se:

x R = y H → x = y R H

Logo,

d m = 3 M R 2 H ⋅ y R H 2 d y

Arrumando as coisas

d m = 3 M H 3 y 2 d y

Passo 3

Para o momento de inércia:

I = 1 2 ⋅ ∫ x 2 d m

Então, I = 1 2 ⋅ ∫ 0 H y R H 2 3 M H 3 y 2 d y

Fazendo as simplificações:

I = 3 M R 2 2 H 5 ⋅ ∫ 0 H y 4 d y → I = 3 M R 2 2 H 5 ⋅ H 5 5

Portanto,

I = 3 M R 2 10

Resposta

I = 3 M R 2 10

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