O campo elétrico em uma certa região do espaço é dado por Ê   =   ( x   +   2 ) i   N / C , com x em metros. Considere uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio 20   c m , coaxial com o eixo x. Uma das bases do cilindro está em x   =   0 . (a) Determine o valor absoluto do fluxo elétrico através da outra base do cilindro, situada em x   = 2,0   m . (b) Determine a carga no interior do cilindro.

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. A questão deixou um pouco claro que aqui queremos utilizar a Lei de Gauss para determinar o fluxo elétrico produzido pelo campo elétrico e também iremos determinar a carga no interior do cilindro.

Passo 2

  1. O fluxo elétrico através da outra extremidade do cilindro é

ϕ = ∫ E x → ∙ d A

onde A é a área da base do cilindro. Toda a base do cilindro está no mesmo plano x , então o campo elétrico é constante para toda a área A. Os vetores E e A estão na mesma direção, então podemos escrever:

ϕ = ∫ E x ∙ d A

= E x ∫ d A

= E A

A área é dada por r 2 π

A = r 2 π = 0.2 2 π

= 0.12568   m 2

Quando ligamos  x = 2 m entendemos que o fluxo é igual

ϕ = E A

= 2 + 2 ∙ 0.12568 = 0.503 N m 2 C

Passo 3

Precisamos encontrar a carga líquida que está contida dentro do cilindro. Para este propósito, podemos usar a Lei de Gauss:

[ Φ net = q enc ε 0 ]

Onde ( q enc ) é a carga líquida dentro de uma superfície fechada imaginária e ( Φ net )

é o fluxo líquido do campo elétrico através da superfície.

No nosso caso, o fluxo total ( Φ net ) é igual à soma dos fluxos através das duas bases. O fluxo através das paredes externas do cilindro é zero, porque o campo elétrico não tem componente perpendicular à superfície das paredes externas.

O fluxo total ( Φ net ) é dado por:

[ Φ net = Φ 1 + Φ 2 ]

onde ( Φ 2 ) é o fluxo através da base do cilindro localizada em ( x = 2 ) (derivado na parte anterior).

Então, sabemos que ( Φ 2 = 0.503   C   Nm 2 ) .

O fluxo através da base do cilindro localizada em ( x = 0 ) é ( Φ 1 ) , semelhante à parte anterior:

[ Φ 1 = - E x A ]

Para ( x = 0 ) e ( A = 0.12568   m 2 ) , obtemos:

[ Φ 1 = - 0 + 2   C / N ⋅ 0.12568   m 2 = - 0.25136   C   Nm 2 ]

Agora podemos encontrar o fluxo líquido ( Φ net ) :

[ Φ net = Φ 1 + Φ 2 = - 0.25136   C   Nm 2 + 0.503   C   Nm 2 = 0.25164   C   Nm 2 ]

Pela Lei de Gauss, ( Φ net = q enc ε 0 ) , podemos encontrar ( q enc ) :

[ q enc = ε 0 ⋅ Φ net ]

A constante ( ε 0 ) é igual a ( 8.85 × 10 - 12   C 2 / Nm 2 ) :

[ q enc = 8.85 × 10 - 12   C 2 / Nm 2 ⋅ 0.25164   C   Nm 2 = 2.227 × 10 - 12   C ]

Portanto, a carga líquida contida dentro do cilindro é ( 2.227 × 10 - 12   C ) .

Resposta

  1. 0.503 N m 2 C
  2. ( 2.227 × 10 - 12   C ) .
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