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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 22.5 - Ex. 20

O campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos do eixo do dipolo é dado aproximadamente pelas Eqs. 22-8 e 22-9. Se é feita uma expansão binomial da Eq. 22-7, qual é o termo seguinte da expressão do campo elétrico do dipolo em pontos do eixo do dipolo? Em outras palavras, qual é o valor de E 1 na expressão

E = 1 2 π ϵ 0 q d z 3 + E 1 ?

E = 1 2 π ϵ 0 q d z 3     22 - 8

E = 1 2 π ϵ 0 p z 3     2 2 - 9

E = q 4 π ϵ 0 z 3 2 d 1 - d 2 z 2 2     22 - 7    

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😬

Nesse problema temos duas equações que podem ser usadas para calcular o campo elétrico de um dipolo, porém, se é feita uma expansão binomial da Eq. 22-7 queremos saber qual é o termo seguinte da expressão do campo elétrico do dipolo em pontos do eixo do dipolo. Ou seja, qual é o valor de E 1 na expressão

E = 1 2 π ϵ 0 q d z 3 + E 1

Parece complicado? 🤔

Para essa questão, precisamos saber o como funciona a expansão binominal. A expansão binominal funciona assim:

1 + x k = 1 + k x + k k - 1 2 ! x 2 + … + k k - 1 … k - n + 1 n ! x n + …  

Bora lá! 😉

Passo 2

Ao olharmos a equação 22-7, podemos separar um z do z 3 , ficando com:

E =   q 4 π ϵ 0 z 3 2 d 1 - d 2 z 2 2

E =   q 4 π ϵ 0 z 2 2 d z 1 - d 2 z 2 2

Agora, repare que nós temos 2 d z 1 - d 2 z 2 2 , vamos separar esses caras em duas frações:

E =   q 4 π ϵ 0 z 2   1 1 - d 2 z 2 - 1 1 + d 2 z 2

E =   q 4 π ϵ 0 z 2 1 - d 2 z - 2 -   1 + d 2 z - 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Note que os termos 1 - d 2 z - 2 e 1 + d 2 z - 2 podem ser expandidos utilizando a expansão binominal.

No caso de 1 - d 2 z - 2 , vamos substituir na fórmula do passo 1 x = - d 2 z e k = - 2 . E, no caso de 1 + d 2 z - 2 , vamos usar x = d 2 z e k = - 2 . Beleza? Dessa forma:

E =   q 4 π ϵ 0 z 2 1 + d z + 3 4 d 2 z 2 + 1 2 d 3 z 3 + … - 1 - d z + 3 4 d 2 z 2 - 1 2 d 3 z 3 + …

Se você reparar, os termos ímpares vão se anular! Assim, vamos escrever só com os termos pares que vão sobrar dessa conta:

E = q d 2 π ϵ 0 z 3 + q d 3 4 π ϵ 0 z 5 + …  

Dessa forma, ao vermos a fórmula inicial do problema, vemos que

E 1 =   q d 3 4 π ϵ 0 z 5 .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

E 1 =   q d 3 4 π ϵ 0 z 5 .

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