Uma casca hemisférica de raio R está uniformemente carregada com carga positiva de densidade superficial σ .

  1. Ache o potencial V ( O ) no ponto central O . (Tomando V ∞ = 0 )
  2. Uma partícula de massa m e carga q positiva é colocada no ponto O e largada a partir do repouso. A que velocidade a partícula tenderá quando se afastar muito de O .

Passo 1

Se liga! Vamos definir o elemento d A na superfície como

d A = 2 π ρ 2 d θ

Podemos lembrar que

σ = d q d A ⟹ d q = σ 2 π ρ 2 d θ .

Passo 2

Podemos calcular o potencial como

V O = 1 4 π ϵ 0 σ R 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π / 2 s e n   θ   d θ = σ R 2 ϵ 0

Passo 3

Podemos achar a velocidade pedida no item (b), através da conservação da energia.

Nesse caso, a energia potencial é dada por

U = q V .

Lembrando que a energia cinética é

E c = m v 2 2 ,

Podemos escrever que

m v 2 2 = q V

v 2 = q σ R m ϵ 0 ⇒ v = q σ R m ϵ 0 .

Resposta

a )     V O = σ R 2 ϵ 0

b )   v = q σ R m ϵ 0

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