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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 11

Um balão de borracha de raio R está carregado com carga Q , distribuída uniformemente sobre sua superfície.

  1. Determine a energia eletrostática total contida no campo.
  2. Calculando a variação dessa energia para uma variação infinitesimal d R do raio, demonstre que a força eletrostática radial por unidade de área, na superfície do balão, é igual à densidade de energia eletrostática na superfície.

Passo 1

Para resolvermos, vamos usar a equação para energia eletrostática, porém voltada para a área superficial do balão, que é escrita como.

U = 1 2 ∫ ρ r ⋅ V r ⋅ d A

Também precisamos lembrar como se define a densidade de cargas, dada por

ρ = Q A = q r A r

Além de lembrar também que a força é definida como

F = - ∇ U

Vamos lá resolver!

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar usadno a nossa integral para encontrar a energia eletrostática. Temos que:

U = 1 2 ∫ ρ r ⋅ V r ⋅ d A = 1 2 ⋅ ρ R ⋅ V R ⋅ A

Onde nosso V R = Q 4 π ε 0 R , A = 4 π R 2 e ρ R = Q 4 π R 2 . Substituindo em nossa integral, vamos ter que:

U = 1 2 ⋅ Q 4 π R 2 ⋅ Q 4 π ε 0 R ⋅ 4 π R 2 = Q 2 8 π ε 0 R

E essa é nossa energia eletrostática.

Passo 3

Primeiro para termos certeza de que resultado precisamos chegar, vamos calcular a densidade de energia eletrostacia na superfície. Temos que:

σ = d U d A = Q 2 8 π ε 0 R 2 d R 4 π R 2 d R = Q 2 32 π ε 0 R 4

E esse é o resultado que temos que chegar. Calculando então o gradiente de U para acharmos a força, vamos ter que

F = - ∇ U = Q 2 8 π ε 0 R 2 R →

Dividindo agora pela área, vamos ter que

F A = Q 2 8 π ε 0 R 2 4 π R 2 R → = Q 2 32 π ε 0 R 4 R →

Como queriamos que fosse!

Resposta

  1. U = Q 2 8 π ε 0 R
  2. F = Q 2 32 π ε 0 R 4 R →
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