Certo cíclotron, cujo campo magnético tem intensidade igual a 1,8   T , é projetado para acelerar os prótons até a energia cinética de 25   M e V . (a) Qual é a frequência de cíclotron para esse dispositivo? (b) Qual deve ser o raio mínimo do ímã para atingir esta energia? (c) Se a diferença de potencial alternada aplicada aos ds tem valor máximo de 50 k V , quantas revoluções devem completar os prótons antes de saírem com energias de 25   M e V ?

Passo 1

FALA GALERA, BORA LANÇAR A BRABA NESSA QUESTÃO? Vem comigo, que é sucesso. primeiro, precisamos achar uma equação que represente a frequência do cíclotron, depois uma equação que relacione o raio com a energia cinética, com essas duas equações responderemos a questão de forma tranquila e sossegada (pra ficar melhor só uma rede, ADM VERSÃO PREGUIÇA ON).

Podemos expressar a frequência do cíclotron em termos da velocidade e raio orbital dos prótons:

f = 1 T

f = 1 2 π r / v

f = v 2 π r

Agora utilizaremos a segunda Lei de Newton aplicada na partícula para determinar o raio orbital da partícula (sim, de novo x2) :

F = m   a c

q   v   B = m v 2 r

q   B = m v r

r = m   v q   B (1)

Substituindo o raio na equação da frequência por este, temos que:

f = v 2 π m   v q   B

f = q   B   v 2 π   m   v

f = q   B   2 π   m   (2)

Agora que temos a equação da frequência, vamos determinar a outra equação que precisamos, para obtê-la basta utilizar a definição de energia cinética:

K = 1 2   m   v 2

v = 2 K m

Substituindo a velocidade na equação 1, teremos:

r = m   v q   B

r = m q   B   2 K m

r = 2 K m q B (3)

Com a equação 2 e 3, conseguiremos responder a questão.

Passo 2

Para a letra (a) basta substituir as variáveis da equação 2 pelos valores dados na questão:

f = q   B   2 π   m  

f = 1.602   x   10 - 19 C ( 1.8   T )   2 π   ( 1.673   x   10 - 27 k g )  

f = 27   M H z

Agora é substituir os termos da equação 3 pelos valores dados, para responder a letra (b):

r = 2 K m q B

r = 2 25   M e V ( 1.673   x   10 - 27 k g ) 1.602   x   10 - 19 C ( 1.8   T )

r = 40   c m

Para a letra (c) basta expressar o numero de revoluções N em termos de energia ganha por revolução:

N = 25   M e V E r e v

O feixe está acelerando com uma o dobro da diferença de potencial de 50   k V a cada revolução, logo E r e v = 2   q   ∆ v =   100   k e V , substituindo o valor da energia de revolução:

N = 25   M e V 100   k e V / r e v

N = 2.5   x   10 2   r e v

QUESTÃO RESPONDIDA; Me despeço aqui! Até a próxima

Resposta

a)   f = 27   M H z

b) r = 40   c m

c) N = 2.5   x   10 2   r e v

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