Em um certo cíclotron, um próton descreve uma circunferência com 0,500 m de raio. O módulo do campo magnético é 1,20 T . (a) Qual é a frequência do oscilador? (b) Qual é energia cinética do próton em elétrons-volts?

Passo 1

Aqui temos um sistema onde um próton é acelerado e faz uma trajetória circular (cíclotron) e temos que calcular a frequência do oscilador e a energia cinética. Vamos precisar aqui fazer algumas associações de equações que conhecemos.

O primeiro ponto é que nesses casos a força magnética e centrípeta são iguais:

F B = F C

Portanto podemos reescreve-las desse jeito aqui:

q v B = m v 2 R → v = q B R m

Com essa relação do raio a gente encontra a velocidade, lembrando que no movimento circular a velocidade é dada por:

v = 2 π R T

E por fim a gente tira o período:

T = 2 π R v

Ele será fundamental para encontrarmos a frequência!

Passo 2

Partindo para o cálculo da frequência, a gente sabe que ela é o inverso do período, então fazemos:

f = 1 T = v 2 π R

E substituindo a equação de v temos:

f = q B 2 π m

Onde m = m p e a carga é a carga de um próton e :

f = e B 2 π m p

Substituindo todo o bonde, temos:

m p = 1,67 × 10 - 27 k g

e = 1,60 × 10 - 19 C

B = 1,20 T

E aí a nossa frequência de oscilação será:

f = 1,60 × 10 - 19 C × 1,20 T 2 π 1,67 × 10 - 27 k g

f = 18,3 M H z

Passo 3

Para o item b. também usaremos algumas relações do passo 1, pra chegar na equação da energia cinética. A gente sabe que a energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

Basta substituirmos então o que encontramos pra velocidade:

K = m 2 q B R m 2 = q R B 2 2 m

Onde m = m p e e é a carga do próton, e a equação fica:

K = e R B 2 2 m p

Substituindo todo mundo a gente vai ter:

m p = 1,67 × 10 - 27 k g

e = 1,60 × 10 - 19 C

B = 1,20 T

R = 0,5 m

E a equação vai ficar desse jeito aqui:

K = 0,5 m × 1,60 × 10 - 19 C × 1,20 T 2 2 × 1,67 × 10 - 27 k g = 2,76 × 10 - 12 J

Vamos aqui dividir por e para transformar de J para e V :

K = × 1 1,60 × 10 - 19 J / e v × 2,76 × 10 - 12 = 17,24 × 10 6 e V

E 10 6 está na unidade M e g a ( M ) :

K = 17,2 M e v

Resposta

(a) f o s c = 18,3 M H z

(b) K = 17,2 M e V

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