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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 57

O cilindro interno da figura 22-42 é feito de um material não condutor e tem uma distribuição volumétrica de carga dada por ρ R = C / R , onde C = 200   n C / m 2 . O cilindro externo é metálico e ambos os cilindros são infinitamente longos. (a) Determine a carga por unidade de comprimento (ou seja, a densidade linear de carga) no cilindro interno. (b) Calcule o campo elétrico para todos os valores de R .

Passo 1

Falaaa galera. Então, nessa questão temos novamente uma simetria cilíndrica. O cilindro interno não é condutor, de modo que seu volume está carregado de maneira que a densidade varia com a distância de acordo com a equação ρ R = C / R . Se o cilindro interno possui uma carga q , então o cilindro externo terá uma carga - q (indução total). Portanto, nosso primeiro objetivo será calcular a carga q .

Passo 2

  1. Como ρ R = C / R , então

    2. q = ∫ ρ R   d V

    Sabemos que o volume de um cilindro é dado por V = π R 2 L , onde L é seu comprimento. Dessa forma, d V = 2 π R L   d R . Segue:

    q = ∫ 0 a 1 C R ⋅ 2 π R L   d R = 2 π L C ∫ 0 a 1 d R = 2 π L C a 1

    Ou seja, a carga no cilindro externo será - q . Dessa forma,

    λ = - q L = - 2 π C a 1 λ = - 2 π 200 × 10 - 9 1,5 × 10 - 2 λ = - 1,88 × 10 - 8   C / m

    Passo 3

  2. Vamos dividir a região em algumas partes:
  • De 0 < R < 1,5   c m , temos

    • q i n t = 2 π L C R

    Assim, aplicando Gauss:

    E 2 π L R = 2 π L C R ε 0 ⟹ E = C ε 0 E = 200 × 10 - 9 8,85 × 10 - 12 = 22,6   k N / C

  • De 1,5   c m < R < 4,5   c m , temos

    • q i n t = 2 π L C a 1

    Assim, aplicando Gauss,

    E 2 π L R = 2 π L C a 1 ε 0 ⟹ E = C a 1 ε 0 R E = 200 × 10 - 9 1,50 × 10 - 2 8,85 × 10 - 12 R = 339   N ⋅ m / C R

  • De 4,5   c m < R < 6,5   c m , estamos no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático. Dessa maneira, devemos ter E = 0 .
  • Para R > 6,5   c m , teremos uma carga interna líquida q i n t = 2 π L C a 1 . Isso ocorre, pois o cilindro interno é induzido com carga - q e o externo (para manter a neutralidade total do cilindro) fica com carga + q . Logo, a carga interna total é q i n t = q + - q + q = + q . Portanto, aplicando Gauss,

E 2 π L R = 2 π L C a 1 ε 0 E = C a 1 ε 0 R = 339   N ⋅ m / C R

Resposta

  1. 1,88 × 10 - 8   C .
  2. 22,6   k N / C para R < 1,50   c m ; 339 R   N ⋅ m / C para 4,50   c m < R < 1,50   c m , 0 para 4,50   c m < R < 6,50   c m ; e 339 R   N ⋅ m / C para R > 6,50   c m .
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