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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 61

Um cilindro metálico, de raio a, está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico metálico, de raio b. A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro é λ e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo.

a)Determine o potencial V(r) para as regiões i)rb. (Sugestão; o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor.) Considere V=0 para r=b.

b)Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por:

V a b = λ 2 π ϵ o l n b a

c)Use a equação E = - ∂ V ∂ r e o resultado do item a) para mostrar que o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre os dois cilindros é dado por

E ( r ) = V a b l n ( b / a ) 1 r

d)Qual seria a diferença de potencial entre os dois cilindros se o cilindro externo não tivesse nenhuma carga líquida?

Passo 1

letra a)

O potencial fora do cilindro é dado por

V = λ 2 π ϵ o l n r o r

r é distância a partir do eixo do cilindro e r o é a distância do eixo até o ponto onde V=0.

Então r o = b

V = λ 2 π ϵ o l n b r

O potencial dentro do cilindro tem o mesmo valor que na superfície.

Passo 2

i)r

Como o potencial interno (r

V = λ 2 π ϵ o l n b a

Passo 3

ii)a

Fora do cilindro e dentro do tubo o potencial vai ser:

V = λ 2 π ϵ o l n b r

Passo 4

iii)r>b:

O potencial total é a soma dos potenciais de cada cilindro. E o potencial de cada cilindro serão iguais e com sinais contrários:

V = λ 2 π ϵ o l n b r - λ 2 π ϵ o l n b r

V = 0

Passo 5

letra b)

Queremos V a b

V a b = V a - V b

V b o enunciado nos diz que é 0

E V a é para r=a na expressão V = λ 2 π ϵ o l n b r . Então temos:

V a b = V a

V a b = λ 2 π ϵ o l n b a

Passo 6

letra c)

Pegando a expressão:

E = - ∂ V ∂ r

E substituindo o potencial

E = - ∂ ∂ r λ 2 π ϵ o l n b r

E = - λ 2 π ϵ o ∂ ∂ r l n b r = - λ 2 π ϵ o 1 b / r ∂ ∂ r b r

E = - λ 2 π ϵ o r b - b r 2 = λ 2 π ϵ o 1 r

Passo 7

Lembrando que V a b = λ 2 π ϵ o l n b a

E = λ 2 π ϵ o 1 r l n b a l n b a

E ( r ) = V a b l n ( b / a ) 1 r

Passo 8

letra d)

O potencial entre os dois cilindros depende apenas do cilindro interno, já que o potencial do cilindro externo é nulo. Então a diferença de potencial continuaria a mesma.

V a b = λ 2 π ϵ o l n b a

Resposta

letra a) i) V = λ 2 π ϵ o l n b a , ii) V = λ 2 π ϵ o l n b r , iii) V = 0

letra d) V a b = λ 2 π ϵ o l n b a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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