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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 25.1 - Ex. 49

Considere um fio de comprimento L na forma de um cone truncado. O raio do fio varia com a distância x até a extremidade estreira de acordo com r = a + b - a / L x , onde 0 < x < L . Deduza uma expressão para a resistência deste fio em termos de seu comprimento L , raio a , raio b e resistividade ρ .

Passo 1

Falaaa, meu povo.

A figura a seguir vai ilustrar as contas que vamos fazer.

Considere um pequeno disco de raio r e comprimento d x . A resistência desse disquinho é

d R = ρ d x π r 2 = ρ d x π a + b - a L x 2

Notemos que esses discos estão todos em série, de forma que a resistência total será simplesmente a soma de cada uma das resistências d R . Em outras palavras,

R = ∫ d R R = ρ π ∫ 0 L d x a + b - a L x 2

Passo 2

Para calcular essa integral, fazemos a + b - a L x = u . Assim,

b - a L d x = d u ∴ d x = L b - a d u

Quando x = 0 , então u = a . Quando x = L , então u = b . Logo,

R = ρ π ∫ a b L b - a ⋅ 1 u 2 d u = ρ L π b - a 1 a - 1 b R = ρ L π a b

Resposta

A resistência é R = ρ L / π a b .

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