Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 9
Considere um gás ideal de moléculas, em equilíbrio num recipiente de volume . Calcule: (a) a probabilidade de encontrar todas as moléculas concentradas num volume (macroestado ); (b) a probabilidade de encontrá-las todas num volume (macroestado 2); (c) A probabilidade de encontrar moléculas em e as demais no volume restante; (d) A diferença de entropia entre os estados e ; (e) os valores numéricos de , e para .
Passo 1
(a) Cada uma das moléculas pode estar em qualquer lugar do volume , certo?
Então a probabilidade de que uma única molécula esteja em uma região em um dado instante é:
Agora, a probabildiade de que todas as moléculas façam isso é:
Ou seja, temos que multiplicar as probabilidades vezes:
Passo 2
(b) O que muda quando queremos a probabilidade de encontrar a molécula em uma região de volume ?
É bem simples, a probabilidade para uma única molécula vira:
E então:
Passo 3
(c) Agora queremos a probabilidade de encontrar moléculas em um terço do volume, e as outras no resto do volume.
Bom, aqui temos que multiplicar duas probabilidades:
O problema é que podemos ter vários “grupos” de moléculas em cada uma dessas situações.
O número de “grupos possíveis” é:
Já que os grupos vão se revezar em terços! Então a probabilidade final é:
Passo 4
(d) Agora vamos lembrar da fórmula para a variação de entropia entre dois estados e :
Onde e são as probabilidades que a gente calculou nos itens (a) e (b):
Passo 5
(e) Só precisamos lembrar das fórmulas para cada uma das probabilidades:
E quando :
É só jogar tudo na calculadora:
Resposta
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
(e) , , .