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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 4

Considere um sistema qualquer de duas partículas, de massas m 1   e   m 2 velocidades v 1   e   v 2 . Sejam T 1   e   T 2 as energias cinéticas das duas partículas, e v r , a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partícula 1. (a) Mostre que os momentos das duas partículas em relação ao CM são dados por: p 1 ' =   - μ v r =   - p 2 ' , onde μ = m 1 m 2 M (com M = m 1 + m 2 ) chama-se a massa reduzida do sistema de duas partículas. Note que 1   μ = 1 m 1 + 1 m 2 . (b) Mostre que a energia cinética total é dada por T 1 + T 2 = T 1 ' + T 2 ' + 1 2 M v C M 2 , onde T 1 ' + T 2 ' = 12 μ v r 2 , onde T 1 '   e   T 2 ' são as 2 energias cinéticas relativas ao CM e V é a velocidade do CM . (c) Mostre que a energia cinética relativa ao CM (energia cinética interna) é dada por T 1 ' + T 2 ' = 1 2 μ v r 2 . Combinando os resultados de (b) e (c), vemos que a energia cinética total é a soma da energia cinética associada ao movimento do CM, com massa igual à massa total, mais a energia cinética do movimento relativo, equivalente à de uma partícula de massa igual a massa reduzida e velocidade igual à velocidade relativa. Mostre que, para um sistema isolado de duas partículas, a energia cinética interna se conserva numa colisão elástica entre elas. Mostre que o fator Q de uma colisão inelástica (Seç. 9.7) é igual a variação da energia cinética interna.

Passo 1

  1. Vamos começar com uma informação que temos

  • V c m = m 1 v i 1 + m 2 v i 2 M =   m 1 v f 1 + m 2 v f 2 M

    • Também sabemos as velocidades relativas pela transformação de galileu

  • v i 1 ' = v i 1 - V c m
  • v i 2 ' = v i 2 - V c m

Se descobrirmos as velocidades relativas descobrimos o momento também, izi! Vem comigo!

v i 1 ' = v i 1 m 1 + m 2 - m 1 v i 1 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

= m 1 v i 1 - m 1 v i 1 + m 2 v i 1 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

= m 2 v i 1 - v i 2 m 1 + m 2

Como o termo em parênteses é justamente a velocidade relativa, fica assim

v i 1 ' = - m 2 v i r m 1 + m 2

Para calcular o momento fazemos

p i ' 1 = m 1 ( v i ' 1 )

= - m 1 m 2 v i r m 1 + m 2

=   - μ v i r

Como a gente queria, show! Agora é só provar que p i ' 2 = μ v i r . Chega junto!

v i 2 ' = v i 2 m 1 + m 2 - m 1 v i 1 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

= m 1 v i 2 - m 1 v i 1 + m 2 v i 2 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

= m 1 v i 2 - v i 1 m 1 + m 2

= m 1 v i r m 1 + m 2

→

p i ' 2 = m 2 m 1 v i r m 1 + m 2

= μ v i r

Uma observaçãozinha, calculamos para os momentos iniciais, mas isso também é válido pra depois da colisão, então nosso resultado é sim genérico como o enunciado pede, TOP.

Passo 2

  • Nossa energia cinética total é dada por T = T 1 + T 2 . Bora calcular a energia cinética de cada massa
    • T 1 = p 1 2 2 m 1

      • Bom, aqui o segredo é entender o que o enunciado quer que você faça e nesse caso é relacionar com energias cinéticas relativas ao CM , então vamos relacionar nosso momento com o CM também! Chega junto.

      Pela letra a) a gente sabe que v 1 ' = v 1 - V c m . Multiplicando tudo pela massa m 1 fica assim ó

      p 1 ' = p 1 - m 1 V c m

      Isolando o momento p 1 ,

      p 1 = p 1 ' + m 1 V c m

      Vamos agora escrever a energia cinética em função do momento p 1

      T 1 =   p 1 ' + m 1 V c m 2 2 m 1

      = p 1 ' 2 + 2 p 1 ' m 1 V c m + m 1 2 V c m 2 2 m 1

      = T 1 ' + p 1 ' V c m + m 1 V c m 2 2

      Pra T 2 vale a mesma lógica meu povo, fica assim

      T 2 = T 2 ' + p ' 2 V c m + m 2 V c m 2 2

      Somando as duas energias cinéticas obtemos isso aqui ó

      T 1 + T 2 = T 1 ' + T 2 ' + p 1 ' + p 2 ' V c m + ( m 2 + m 1 ) V c m 2 2

      Vamos focar agora só no nosso termo do meio p 1 ' + p 2 ' . Só relembrando

    • p 1 ' = p 1 - m 1 V c m
    • p 2 ' = p 2 - m 2 V c m

    →

    p 1 ' + p 2 ' = p 1 - m 1 V c m + p 2 - m 2 V c m

    = p 1 + p 2 - M V c m

    Mas lembra o que eu disse sobre V c m lá no começo?

      V c m = m 1 v 1 + m 2 v 2 M

    =   p 1 + p 2 M    

    Substituindo na fórmula anterior a gente acha o resultado da soma, saca só

    p 1 ' + p 2 ' = p 1 + p 2 - M p 1 + p 2 M

    =   0  

    Ah mulequeee! Matamos, agora é só voltar um poquinho lá em cima e concluir que

    T 1 + T 2 = T 1 ' + T 2 ' + M V c m 2 2

    Passo 3

  • Vamos poupar uma parte do trabalho árduo usando nossos resultados anteriores, bora lá calcular T 1 '   e T 2 ' a partir de p 1 ' e p 2 '

    • T 1 ' = p 1 ' 2 2 m 1

    = μ 2 v i r 2 2 m 1

    T 2 ' = p 2 ' 2 2 m 2

    = μ 2 v i r 2 2 m 2

    →

    T 1 ' + T 2 ' =   μ 2 v i r 2 2 m 1 + μ 2 v i r 2 2 m 2

    = μ 2 v i r 2 2 1 m 1 + 1 m 2

    = μ 2 v i r 2 2 1 μ

    = μ v i 2 r 2

    Passo 4

    Para mostrar que a energia cinética se conserva na colisão elástica vamos usar o fato mostrado no exemplo anterior que numa colisão elátisca os momentos de cada massa simplesmente trocam de sinal quando vistos em relação ao centro de massa. Ou seja

    p i 1 ' = - p f 1 '

    p i 2 ' = - p f ' 2

    • T i , a energia cinética total inicial é dada por

      • T i = T i 1 ' + T i 2 ' + M V i c m 2 2

      = p i ' 1 2 2 m 1 + p i 2 ' 2 2 m 2 + M V c m 2 2

    • Para T f temos

    T f = T f 1 ' + T f 2 ' + M V f c m 2 2

    = p f ' 1 2 2 m 1 + p f 2 ' 2 2 m 2 + M V f c m 2 2

    Voltando a nossas relações iniciais p f ' 2 = p ' i 2 e como V c m é o mesmo no sistema isolado temos que

    T i = T f

    →

    Δ T = 0

    Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

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