Enunciado
Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 6
(a) Que fração da energia cinética é transferida por uma partícula de massa m, que se move com velocidade v, numa colisão frontal elástica com uma partícula de massa m’ inicialmente em repouso? Exprima o resultado em função da razão m’/m. Para que valor de a transferência é máxima, e quanto vale?(b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira, de massa m’’, em repouso, alinhada com m e m’. Mostre que a transferência de energia cinética de m para m’ é máxima quando Mostre que, para m m’, a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de m para m’ do que no caso (a).
Passo 1
- Eae meu povo, tio Moysés não alivia né? Mas não se preocupa que aqui a gente desenrola! O primeiro passo é olhar as fórmulas de velocidade numa colisão, saca só
- A velocidade final da partícula de massa fica assim
- A velocidade final da partícula de massa fica assim
- Aqui basicamente vamos repetir o mesmo procedimento porém com uma partícula a mais. A primeira colisão é com a partícula então é só pegar nosso sistema lá de cima e onde tem trocar por . Se liga aqui!
- Colisão 1
- Colisão 2
Mas na situação do enunciado a gente sabe que , então fica bem mais simples
Certo, como o problema fala na variação de energia cinética da partícula vamos calculá-la.
Pegando o valor da velocidade final do nosso sistema de equações e substituindo nessa fórmula,
Vamos desenvolver colocando e em evidência,
Pra prosseguir é só multiplicar o 1 em cima e embaixo pelo mesmo valor
Colocando a parte de baixo pra fora fica
Vamos desenvolver os termos ao quadrado de dentro,
Substituindo de volta na variação de energia cinética, obtemos
Galera, como o problema quer que usemos vamos dividir em cima e embaixo por
Legal, como nosso interesse é achar vamos efetuar a divisão, saca só como fica
Ae, se quisermos saber que valor de lambda maximiza a transferência basta derivarmos a função e igualar a 0. Vem comigo!
Pela regra do quociente temos,
No ponto de máximo , logo
Finalmente,
Passo 2
Agora, para a segunda colisão a dica para não se confundir com as fórmulas é pensar em quem é a partícula incidente e a partícula alvo, por exemplo:
Se é projétil e é o alvo em repouso , então
Ou seja, a velocidade final da partícula alvo em repouso vai com a massa do projétil em cima e a velocidade inicial do projétil também. Esse é sempre o padrão! Vamos só repetir com as massas de projétil e de alvo. Obs: Para a equação de é só olhar lá em cima o nosso primeiro sistema e fazer a analogia pra essa colisão!
Finalmente fica assim
Tranquilo, mas na segunda colisão temos que ter em mente que a velocidade final da colisão 1 será a velocidade inicial . Então
OK, a energia cinética transferida à partícula final é a sua vriação de energia cinética, certo? Então vamos calculá-la
Substituindo pelo valor da velocidade final encontrado no sistema da colisão 2,
Show! Agora vamos calcular a fração de energia cinética transferida
Finalmente,
Para achar o valor de que maximiza a fração de energia transferida vamos repetir o mesmo procedimento da letra a). Bora derivar!!!
Primeiro vamos olhar para o denominador da fração e chamar de para facilitar nossas contas.
Pela regra do produto,
Galera, a primeira parte que tá multiplicando o 2 antes dos colchetes é igual a , ou seja,
Já para a função vamos isolar a constante e usar a regra do quociente,
Como o ponto de máximo ocorre quando a derivada é igual a 0 temos
Derivando o termo ,
Ainda podemos simplificar mais dividindo por , uma vez que seu valor não é 0.
Gente, para substituir a derivada de D usamos nossa equação ,
Dividindo os 2 lados por fica assim
Substituindo o valor de presente na equação ,
Finalmente a gente tem o resultado esperado
Passo 2
Galera, vamos ver o que acontece com a fração de energia transferida quando a massa intermediária é dada por
Dividindo em cima e embaixo por temos
Trocando agora por ficamos com
Por fim, a gente só precisa comparar isso com a primeira transferência de energia encontrada.
Galera, se temos
Para saber o comportamento dessa função, ou seja, se ela é maior que 1 ou 0 o ideal é analisar o comportamento da sua derivada em torno do ponto . Maaas por praticidade podemos apenas conferir com um valor arbitrário.
Vamos supor
Agora um valor menor que , supondo
Ok, como independente de o valor ser maior ou menor que 1 a transferência de energia é maior no caso b) do que no caso a) mostramos o que foi pedido no problema, show!! Bora treinar mais ou descansar um pouco?
... Só uns 5 minutinhos vai! Haha.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)